Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2016

Corrigé de l'exercice 2: candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Afin de se préparer à courir des marathons, Hugo aimerait effectuer quotidiennement un footing à compter du 1^er janvier 2014.

On admet que :

Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 ;
s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4.

On note C l'état « Hugo court » et R l'état « Hugo ne court pas ».

Pour tout entier naturel n, on note :

$c_{n}$ la probabilité de l'événement « Hugo court le (n + 1)-ième jour » ;
$r_{n}$ la probabilité de l'événement « Hugo ne court pas le (n + 1)-ième jour » ;
$P_{n}$ la matrice $(\begin{matrix} c_{n} & r_{n} \end{matrix})$ correspondant à l'état probabiliste le (n + 1)-ième jour.

Le 1^er janvier 2014, motivé, le jeune homme court.
On a donc : $P_{0} = (\begin{matrix} c_{0} & r_{0} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets C et R.
- Si Hugo court un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,2 d'où $P_{C_{n}} (R_{n + 1}) = 0,2$ et $P_{C_{n}} (C_{n + 1}) = 1 - 0,2 = 0,8$ .
- s'il ne court pas un jour donné, la probabilité qu'il ne coure pas le lendemain est de 0,4 d'où $P_{R_{n}} (R_{n + 1}) = 0,4$ et $P_{R_{n}} (C_{n + 1}) = 1 - 0,4 = 0,6$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Écrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
La matrice de transition M de ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4 \end{matrix})$ .
On donne $M^{6} = (\begin{matrix} 0,750016 & 0,249984 \\ 0,749952 & 0,250048 \end{matrix})$ .
Quel calcul matriciel permet de déterminer la probabilité $c_{6}$ qu'Hugo coure le 7^e jour ? Déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de $c_{6}$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où $\begin{matrix} P_{7} = P_{0} \times M^{6} & soit & P_{7} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,750016 & 0,249984 \\ 0,749952 & 0,250048 \end{matrix}) \approx (\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix}) \end{matrix}$
Arrondie au centième près, la probabilité qu'Hugo coure le 7^e jour est 0,75.
1. Exprimer $P_{n + 1}$ en fonction de $P_{n}$ .
  On a $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ soit $P_{n + 1} = (\begin{matrix} c_{n} & r_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 c_{n} + 0,6 r_{n} & 0,2 c_{n} + 0,4 r_{n} \end{matrix})$
  Ainsi, $P_{n + 1} = (\begin{matrix} 0,8 c_{n} + 0,6 r_{n} & 0,2 c_{n} + 0,4 r_{n} \end{matrix})$ .
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = 0,2 c_{n} + 0,6$ .
  Comme pour tout entier naturel n, on a $(\begin{matrix} c_{n + 1} & r_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,8 c_{n} + 0,6 r_{n} & 0,2 c_{n} + 0,4 r_{n} \end{matrix})$ , on en déduit que $c_{n + 1} = 0,8 c_{n} + 0,6 r_{n}$ .
  Or pour tout entier naturel n, $c_{n} + r_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} c_{n + 1} & = & 0,8 c_{n} + 0,6 \times (1 - c_{n}) \\ = & 0,8 c_{n} + 0,6 - 0,6 c_{n} \\ = & 0,2 c_{n} + 0,6 \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $c_{n + 1} = 0,2 c_{n} + 0,6$ .
Pour tout entier naturel n, on considère la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n} = c_{n} - 0,75$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,2. Préciser le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & c_{n + 1} - 0,75 \\ = & 0,2 c_{n} + 0,6 - 0,75 \\ = & 0,2 c_{n} - 0,15 \\ = & 0,2 \times (c_{n} - 0,75) \\ = & 0,2 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,2 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,2 dont le premier terme $v_{0} = 1 - 0,75 = 0,25$ .
2. Exprimer $v_{n}$ en fonction de n.
  Déterminer la limite de la suite $(v_{n})$ .
  - $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,2 et de premier terme $v_{0} = 0,25$ donc :
    pour tout entier naturel n, on a $v_{n} = 0,25 \times {0,2}^{n}$ .
  - $0 < 0,2 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,2}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 0,25 \times {0,2}^{n} = 0$ .
    La suite $(v_{n})$ converge vers 0.
3. Justifier que, pour tout entier naturel n, $c_{n} = 0,75 + 0,25 \times {0,2}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = c_{n} - 0,75 \Leftrightarrow c_{n} = 0,75 + v_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $c_{n} = 0,75 + 0,25 \times {0,2}^{n}$ .
4. Que peut-on conjecturer concernant la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 ?
  $\lim_{n \to + \infty} 0,25 \times {0,2}^{n} = 0$ d'où $\lim_{n \to + \infty} 0,75 + 0,25 \times {0,2}^{n} = 0,75$ .
  $\lim_{n \to + \infty} c_{n} = 0,75$ par conséquent, à partir d'un certain nombre de jours n, $c_{n}$ sera proche de 0,75 et comme $c_{6} \approx 0,75$ alors :
  on peut estimer que la probabilité qu'Hugo coure le 29 décembre 2014 est très proche de 0,75.
5. Conjecturer alors l'état stable de ce graphe.
  Comment valider votre conjecture ?
  Comme la suite $(c_{n})$ converge vers 0,75, on en déduit que l'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix})$ . Vérifions ce résultat : $(\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \\ 0,6 & 0,4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix})$
  L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,75 & 0,25 \end{matrix})$ .

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.