sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

1. Calculer $P\left(R\right)$, la probabilité de l'événement R.

   Parmi les 3200 chansons enregistrées, 960 sont classées dans la catégorie rock d'où : $$P\left(R\right)={\displaystyle \frac{960}{3200}}=\mathrm{0,3}$$

   La probabilité de l'événement R est $P\left(R\right)=\mathrm{0,3}$.

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2. 35 % des chansons de la catégorie rock sont interprétées en français ; traduire cette donnée en utilisant les événements R et F.

   La probabilité de l'événement F sachant que l'événement R est réalisé est $P_R\left(F\right)=\mathrm{0,35}$

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3. Calculer la probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(R\cap F\right)=P_R\left(F\right)\times P\left(R\right)& \text{soit}& P\left(R\cap F\right)=\mathrm{0,35}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,105}\end{array}$$

   La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson de la catégorie rock et qu'elle soit interprétée en français est égale à 0,105.

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4. Parmi toutes les chansons enregistrées 38,5 % sont interprétées en français. Montrer que $P\left(F\cap \overline{R}\right)=\mathrm{0,28}$.

   Les événements R et F sont relatifs à la même épreuve D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}P\left(F\right)=P\left(R\cap F\right)+P\left(F\cap \overline{R}\right)& \iff & P\left(F\cap \overline{R}\right)=P\left(F\right)-P\left(R\cap F\right)\\ & \text{soit}& P\left(F\cap \overline{R}\right)=\mathrm{0,385}-\mathrm{0,105}=\mathrm{0,28}\end{array}$$

   La probabilité que la chanson écoutée soit une chanson interprétée en français et n'est pas classée dans la catégorie rock est $P\left(F\cap \overline{R}\right)=\mathrm{0,28}$.

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5. En déduire $P_{\bar{R}}\left(F\right)$ et exprimer par une phrase ce que signifie ce résultat.

   $$\begin{array}{rcl}{P}_{\bar{R}}\left(F\right)& =& {\displaystyle \frac{P\left(F\cap \overline{R}\right)}{P\left(\overline{R}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{1-\mathrm{0,3}}}=\mathrm{0,4}\end{array}$$

   $P_{\bar{R}}\left(F\right)=\mathrm{0,4}$. Soit 40 % des chansons qui ne sont pas classées dans la catégorie rock sont interprétées en français.

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partie b

Les résultats de cette partie seront arrondis au millième.
Le propriétaire du téléphone écoute régulièrement de la musique à l'aide de son téléphone portable.
On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque écoute de musique, associe la durée (en minutes) correspondante ; on admet que X suit la loi normale d'espérance $\mu =30$ et d'écart-type $\sigma =10$.
Le propriétaire écoute de la musique.

1. Quelle est la probabilité que la durée de cette écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes ?

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(15⩽X⩽45\right)\approx \mathrm{0,866}$.

   La probabilité que la durée de l'écoute soit comprise entre 15 et 45 minutes est, arrondie au millième prés, 0,866.

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2. Quelle est la probabilité que cette écoute dure plus d'une heure ?

   • méthode 1 : utilisation de la calculatrice.

     La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale : $$\begin{array}{rcl}P\left(X>60\right)& =& P\left(X⩾30\right)-P\left(30⩽X⩽60\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(30⩽X⩽60\right)\\ & \approx & \mathrm{0,0013}\end{array}$$

     La probabilité, arrondie au millième près, que cette écoute dure plus d'une heure est 0,001.

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   • méthode 2 : utilisation d'un résultat du cours.

     X suit la loi normale d'espérance $\mu =30$ et d'écart-type $\sigma =10$ d'où, $P\left(30-3\times 10⩽X⩽30+3\times 10\right)=P\left(0⩽X⩽60\right)\approx \mathrm{0,997}$. On en déduit que : $$\begin{array}{rcl}P\left(X>60\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(1-P\left(0⩽X⩽60\right)\right)\\ & \approx & {\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(1-\mathrm{0,997}\right)\\ & \approx & \mathrm{0,0015}\end{array}$$

     La probabilité, arrondie au millième près, que cette écoute dure plus d'une heure est 0,002.

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