Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur [0,5;6]. Les points A(1;3) et B d'abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note f la fonction dérivée de f.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a : étude graphique

  1. Déterminer f(1,5).

    La tangente au point B d'abscisse 1,5 est horizontale d'où f(1,5)=0.


  2. La tangente à la courbe (C) au point A passe par le point de coordonnées (0;2). Déterminer une équation de cette tangente.

    La tangente à la courbe (C) au point A(1;3) passe par le point de coordonnées (0;2) d'où une équation de cette tangente :y=3-21-0×x+2y=x+2

    La tangente à la courbe (C) au point A a pour équation y=x+2.


  3. Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Soit 𝒜 l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2 on a alors :

    3𝒜4.


  4. Déterminer la convexité de la fonction f sur [0,5;6]. Argumenter la réponse.

    Graphiquement, il semblerait qu'en chacun de ses points la courbe (C) est située en dessous de ses tangentes donc :

    La fonction f semble être concave sur [0,5;6].


partie a : étude analytique

On admet que la fonction f est définie sur [0,5;6] par f(x)=-2x+5+3ln(x).

  1. Pour tout réel x de [0,5;6], calculer f(x) et montrer que f(x)=-2x+3x.

    Pour tout réel x de l'intervalle [0,5;6], f(x)=-2+3×1x=-2x+3x

    f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle [0,5;6] par f(x)=-2x+3x.


  2. Étudier le signe de f sur [0,5;6] puis dresser le tableau de variation de f sur [0,5;6].

    Sur l'intervalle [0,5;6], f(x) est du même signe que (-2x+3). Or pour tout réel x on a :-2x+30x32

    Par conséquent, f est positive sur [0,5;1,5] et négative sur [1,5;6]

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

    x0,51,56
    f(x)+0||
    f(x)

    4+3ln0,5

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2+3ln1,5

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -7+3ln6


  3. Montrer que l'équation f(x)=0 admet exactement une solution α sur [0,5;6]. Donner une valeur approchée de α à 10-2 près.

    • Sur l'intervalle [0,5;1,5] on a f(x)>0 donc l'équation f(x)=0 n'a pas de solution sur cet intervalle.

    • Sur l'intervalle [1,5;6], f est dérivable donc continue, strictement décroissante et f(6)<0<f(1,5) alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur cet intervalle.

    L'équation f(x)=0 admet une seule solution α4,88.


  4. En déduire le tableau de signe de f sur [0,5;6].

    x0,5α4,886
    f(x)+0||

  5. On considère la fonction F définie sur [0,5;6] par F(x)=-x2+2x+3xln(x).

    1. Montrer que F est une primitive de f sur [0,5;6].

      Pour tout réel x de l'intervalle [0,5;6], F(x)=-2x+2+3×(ln(x)+x×1x)=-2x+5+3ln(x)

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle [0,5;6] on a F(x)=f(x) donc la fonction F est une primitive de f sur [0,5;6].


    2. En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2. En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.

      Comme la fonction f est positive sur l'intervalle [1;2] alors, l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2 est égale à l'intégrale :12f(x)dx=F(2)-F(1)=(-4+4+6ln2)-(-1+2)=6ln2-1

      L'aire du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=2 vaut 6ln2-13,2 unités d'aire.



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