La courbe (C) ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction f définie et dérivable sur . Les points et B d'abscisse 1,5 sont sur la courbe (C).
Les tangentes à la courbe (C) aux points A et B sont aussi représentées en pointillés sur ce graphique, la tangente au point B est horizontale.
On note la fonction dérivée de f.
Les parties A et B sont indépendantes.
Déterminer .
La tangente au point B d'abscisse 1,5 est horizontale d'où .
La tangente à la courbe (C) au point A passe par le point de coordonnées . Déterminer une équation de cette tangente.
La tangente à la courbe (C) au point passe par le point de coordonnées d'où une équation de cette tangente :
La tangente à la courbe (C) au point A a pour équation .
Donner un encadrement de l'aire, en unités d'aire et à l'unité près, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
Soit l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et on a alors :
.
Déterminer la convexité de la fonction f sur . Argumenter la réponse.
Graphiquement, il semblerait qu'en chacun de ses points la courbe (C) est située en dessous de ses tangentes donc :
La fonction f semble être concave sur .
On admet que la fonction f est définie sur par .
Pour tout réel x de , calculer et montrer que .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle par .
Étudier le signe de sur puis dresser le tableau de variation de f sur .
Sur l'intervalle , est du même signe que . Or pour tout réel x on a :
Par conséquent, est positive sur et négative sur
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 0,5 | 1,5 | 6 | ||
+ | − | ||||
Montrer que l'équation admet exactement une solution α sur . Donner une valeur approchée de α à 10-2 près.
Sur l'intervalle on a donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle , f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution sur cet intervalle.
L'équation admet une seule solution .
En déduire le tableau de signe de f sur .
x | 0,5 | 6 | |||
+ | − |
On considère la fonction F définie sur par .
Montrer que F est une primitive de f sur .
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle on a donc la fonction F est une primitive de f sur .
En déduire l'aire exacte, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et . En donner ensuite une valeur arrondie au dixième.
Comme la fonction f est positive sur l'intervalle alors, l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et est égale à l'intégrale :
L'aire du domaine compris entre la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites d'équation et vaut unités d'aire.
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