Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

partie a

Soit $(u_{n})$ la suite définie par : $u_{0} = 350$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,5 u_{n} + 100$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{array}{ll} u_{1} = 0,5 \times 350 + 100 = 275 \\ et & u_{2} = 0,5 \times 275 + 100 = 237,5 \end{array}$
On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel n par : $w_{n} = u_{n} - 200$ .
1. Montrer que la suite $(w_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 200 \\ = & 0,5 u_{n} + 100 - 200 \\ = & 0,5 u_{n} - 100 \\ = & 0,5 \times (u_{n} - 200) \\ = & 0,5 w_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n + 1} = 0,5 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 dont le premier terme $w_{0} = 350 - 200 = 150$ .
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 200 + 150 \times {0,5}^{n}$ .
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme $w_{0} = 150$ donc pour tout entier naturel n, $w_{n} = 150 \times {0,5}^{n}$ .
  Comme pour tout entier naturel n, $w_{n} = u_{n} - 200 \Leftrightarrow u_{n} = 200 + w_{n}$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 200 + 150 \times {0,5}^{n}$ .

partie b

Une commune propose aux enfants d'adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d'enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles.
Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l'évolution du nombre d'adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :

Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année 100 nouvelles filles.
D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10 %.

On représente l'évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $(F_{n})$ où $F_{n}$ désigne le nombre de filles adhérentes à l'association en l'année $2015 + n$ . On a donc $F_{0} = 350$ .
Pour tout entier naturel n, exprimer $F_{n + 1}$ en fonction de $F_{n}$ .
Chaque année, la moitié des filles inscrites l'année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l'association accueille chaque année 100 nouvelles filles donc :
Pour tout entier naturel n, $F_{n + 1} = 0,5 F_{n} + 100$ .
On représente l'évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $(G_{n})$ , où $G_{n}$ désigne le nombre de garçons adhérents à l'association l'année $2015 + n$ .
1. Pour tout entier naturel n, exprimer $G_{n}$ en fonction de n.
  D'une année à l'autre, le nombre de garçons inscrits à l'association augmente de 10 % alors, pour tout entier naturel n, $G_{n + 1} = 1,1 G_{n}$ .
  Ainsi, $(G_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme $G_{0} = 500 - 350 = 150$ d'où :
  Pour tout entier naturel n, $G_{n} = 150 \times {1,1}^{n}$ .
2. À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?
  Le nombre d'années après 2015 est le plus petit entier n solution de l'inéquation : $\begin{array}{rcll} G_{n} > 300 & \Leftrightarrow & 150 \times {1,1}^{n} > 300 \\ \Leftrightarrow & {1,1}^{n} > 2 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,1}^{n}) > \ln 2 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,1 > \ln 2 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 2}{\ln 1,1} & \ln 1,1 > 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 2}{\ln 1,1} \approx 7,3$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $G_{n} > 300$ est $n = 8$ .
  Le club comptera plus de 300 garçons à partir de 2023.

On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l'algorithme suivant :

Initialisation

Affecter à n la valeur 0
Affecter à G la valeur 150
Affecter à F la valeur 350

Traitement

Tant que $G ⩽ F$

n prend la valeur $n + 1$
G prend la valeur $1,1 G$
F prend la valeur $0,5 F + 100$

Fin Tant que

Sortie

Afficher n

Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.
Valeur de n 0 1 2 3 4
Valeur de G 150 165 182 200 220
Valeur de F 350 275 238 219 209
Condition $G ⩽ F$ vrai vrai vrai vrai FAUX
En déduire l'affichage obtenu, puis répondre au problème posé.
L'affichage obtenu est 4. Le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles en 2019.

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exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

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Valeur de n	0	1	2	3	4
Valeur de G	150	165	182	200	220
Valeur de F	350	275	238	219	209
Condition $G ⩽ F$	vrai	vrai	vrai	vrai	FAUX