Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.
Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7.
Par contre, lorsqu'il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.

On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.

  • L'état « plongeon réussi » est noté R.
  • L'état « plongeon non réussi » est noté R¯.

Pour tout entier naturel n1, la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée an, tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée bn.
La matrice ligne Pn=(anbn) donne l'état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.

  1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets R et R¯.

    Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et R¯ étant classés dans cet ordre.

    La matrice de transition M de ce graphe est M=(0,70,30,20,8).


  3. Justifier que P1=(10).

    Pierre a réussi son premier plongeon donc l'état probabiliste du système lors du premier plongeon est P1=(10).


  4. Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon.

    L'état probabiliste du système lors du quatrième plongeon est : P4=P1×M3Soit(a4b4)=(10)×(0,70,30,20,8)3=(0,4750,525)

    La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon est égale à 0,475.


  5. Montrer que pour tout entier naturel n1, an+1=0,5an+0,2.

    M est la matrice de transition associée à ce graphe donc pour tout entier naturel n1, Pn+1=Pn×M. Soit pour tout entier naturel n1 : (an+1bn+1)=(anbn)×(0,70,30,20,8)(an+1bn+1)=(0,7an+0,2bn0,3an+0,8bn)

    Soit an+1=0,7an+0,2bn avec pour tout entier naturel n1, an+bn=1. Donc pour tout entier naturel n1, an+1=0,7an+0,2×(1-an)=0,5an+0,2

    Ainsi, pour tout entier naturel n1, on a : an+1=0,5an+0,2.


  6. Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.
    On cherche alors à déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de plongeons.
    On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel n1 tel que an0,41.
    Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre à la question posée.

    Initialisation

    • Affecter à N la valeur 1
    • A prend la valeur 1

    Traitement

    • Tant que A>0,41
      • N prend la valeur N+1
      • A prend la valeur 0,5×A+0,2
    • Fin Tant que

    Sortie

    Afficher N

  7. On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n1 par un=an-0,4.

    1. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Pour tout entier n1, un+1=an+1-0,4=0,5an+0,2-0,4=0,5an-0,2=0,5×(an-0,4)=0,5un

      Ainsi, pour tout entier n1, un+1=0,5un donc (un) est une suite géométrique de raison 0,5 dont le premier terme u1=1-0,4=0,6.


    2. Démontrer que pour tout entier naturel n1, an=0,6×0,5n-1+0,4.

      (un) est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme u1=0,6 donc pour tout entier naturel n1, un=0,6×0,5n-1.

      Comme pour tout entier naturel n1, un=an-0,4an=un+0,4 on en déduit que :

      pour tout entier naturel n1, on a an=0,6×0,5n-1+0,4.


    3. Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que an0,41.

      Pour tout entier naturel n1 :an0,410,6×0,5n-1+0,40,410,6×0,5n-10,010,5n-1160ln(0,5n-1)ln(160) La fonction  ln est strictement croissante(n-1)×ln0,5-ln60n-1-ln60ln0,5ln0,50n1-ln60ln0,5

      Comme 1-ln60ln0,56,9 alors :

      le plus petit entier naturel n tel que an0,41 est 7.


    4. Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ?

      Pierre arrête sa série de plongeons au bout de sept essais.




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