Pierre prend des cours de natation ; il effectue plusieurs plongeons.
Lorsque Pierre réussit un plongeon, il prend confiance en lui et la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est de 0,7.
Par contre, lorsqu'il ne réussit pas un plongeon, la probabilité qu'il réussisse le plongeon suivant est égale à 0,2.
On suppose que Pierre a réussi son premier plongeon.
Pour tout entier naturel , la probabilité que Pierre réussisse son n-ième plongeon est notée , tandis que la probabilité que Pierre ne réussisse pas son n-ième plongeon est notée .
La matrice ligne donne l'état probabiliste du système lors du n-ième plongeon.
Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets R et .
Donner la matrice de transition M associée à ce graphe, les sommets R et étant classés dans cet ordre.
La matrice de transition M de ce graphe est .
Justifier que .
Pierre a réussi son premier plongeon donc l'état probabiliste du système lors du premier plongeon est .
Avec la calculatrice, déterminer la probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon.
L'état probabiliste du système lors du quatrième plongeon est :
La probabilité que Pierre réussisse son quatrième plongeon est égale à 0,475.
Montrer que pour tout entier naturel , .
M est la matrice de transition associée à ce graphe donc pour tout entier naturel , . Soit pour tout entier naturel :
Soit avec pour tout entier naturel , . Donc pour tout entier naturel ,
Ainsi, pour tout entier naturel , on a : .
Lorsque la probabilité que Pierre réussisse son plongeon devient inférieure ou égale à 0,41, le maître-nageur demande à Pierre de faire une pause.
On cherche alors à déterminer au bout de combien d'essais Pierre arrête sa série de plongeons.
On cherche donc à déterminer le plus petit entier naturel tel que .
Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre à la question posée.
Initialisation
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Traitement
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Sortie Afficher N |
On considère la suite définie pour tout entier naturel par .
Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout entier ,
Ainsi, pour tout entier , donc est une suite géométrique de raison 0,5 dont le premier terme .
Démontrer que pour tout entier naturel , .
est une suite géométrique de raison 0,5 et de premier terme donc pour tout entier naturel , .
Comme pour tout entier naturel , on en déduit que :
pour tout entier naturel , on a .
Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel n tel que .
Pour tout entier naturel :
Comme alors :
le plus petit entier naturel n tel que est 7.
Au bout de combien d'essais Pierre arrête-t-il sa série de plongeons ?
Pierre arrête sa série de plongeons au bout de sept essais.
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