sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

partie a

Une enquête révèle que dans un lycée, 67 % des élèves jouent régulièrement aux jeux vidéo.
On sait de plus que 57 % des élèves du lycée sont des filles et que, parmi elles, 49 % jouent régulièrement aux jeux vidéo.
On choisit au hasard un élève du lycée.
On note : J l'évènement: « l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo », et F l'évènement : « l'élève est une fille ».

1. Recopier l'arbre ci-dessous et remplacer chacun des quatre pointillés par la probabilité correspondante.

   • 57 % des élèves du lycée sont des filles d'où $p\left(F\right)=\mathrm{0,57}$ et, $p\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,57}=\mathrm{0,43}$.

   • 49 % des filles jouent régulièrement aux jeux vidéo d'où $p_F\left(J\right)=\mathrm{0,49}$ et, $p_F\left(\overline{J}\right)=1-\mathrm{0,49}=\mathrm{0,51}$.

2. Calculer la probabilité que l'élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo.

   $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap J\right)=p_F\left(J\right)\times p\left(F\right)& \text{soit}& p\left(F\cap J\right)=\mathrm{0,49}\times \mathrm{0,57}=\mathrm{0,2793}\end{array}$$

   La probabilité que l'élève soit une fille qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,2793.

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3. Montrer que la probabilité que l'élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,3907.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$\begin{array}{rcl}p\left(J\right)=p\left(F\cap J\right)+p\left(\overline{F}\cap J\right)& \iff & p\left(\overline{F}\cap J\right)=p\left(J\right)-p\left(F\cap J\right)\\ & \text{soit}& p\left(\overline{F}\cap J\right)=\mathrm{0,67}-\mathrm{0,2793}=\mathrm{0,3907}\end{array}$$

   La probabilité que l'élève soit un garçon qui joue régulièrement aux jeux vidéo est égale à 0,3907.

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4. Calculer la probabilité que l'élève joue régulièrement aux jeux vidéo sachant que c'est un garçon. Arrondir au dix-millième.

   $$\begin{array}{rcl}{p}_{\bar{F}}\left(J\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\overline{F}\cap J\right)}{p\left(\overline{F}\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\mathrm{0,3907}}{\mathrm{0,43}}}\approx \mathrm{0,9086}\end{array}$$

   Arrondie au dix-millième près, la probabilité qu'un garçon joue régulièrement aux jeux vidéo est 0,9086.

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partie b

Zoé, grande amatrice de jeux vidéo, souhaite s'offrir une tablette numérique pour son anniversaire. Elle pense commander sur un site web marchand une tablette de marque Alpha.
Elle s'inquiète quant à l'autonomie de sa tablette en mode veille.
On admet que l'on peut modéliser la durée d'autonomie de chaque tablette de marque Alpha en mode veille par une variable aléatoire X qui suit la loi normale d'espérance $\mu =120$ et d'écart-type $\sigma =10$.
La durée X est exprimée en heures.

1. Déterminer la probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie strictement inférieure à 5 jours.

   Une durée de 5 jours correspond à $5\times 24=120$ heures.

   Comme X suit la loi normale d'espérance $\mu =120$, on en déduit que $p\left(X<120\right)=\mathrm{0,5}$.

   La probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie inférieure à 5 jours est égale à 0,5.

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2. Déterminer $p\left(96⩽X⩽144\right)$. Arrondir le résultat au millième.
   Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   À l'aide de la calculatrice, on a $p\left(96⩽X⩽144\right)\approx \mathrm{0,984}$. La probabilité que la tablette numérique ait en mode veille une autonomie comprise entre 4 et 6 jours est 0,984.

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partie c

Le service des ventes de la société Alpha affirme que 91 % des utilisateurs de cette tablette sont satisfaits de leur achat.
Le gestionnaire du site marchand organise une enquête afin de vérifier cette affirmation.
Il interroge au hasard 150 clients ayant acheté cette tablette ; parmi eux, 130 se déclarent satisfaits de leur acquisition.

Peut-on valider l'affirmation du service des ventes de la société ? Justifier.

Comme $n=150$, $n\times p=150\times \mathrm{0,91}=\mathrm{136,5}$ et $n\times \left(1-p\right)=150\times \mathrm{0,09}=\mathrm{13,5}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,91}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,91}\times \mathrm{0,09}}{150}}};\mathrm{0,91}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,91}\times \mathrm{0,09}}{150}}}\right]\end{array}$$

Soit avec des valeurs approchées à ${10}^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des utilisateurs satisfaits de cette tablette sur un échantillon de taille 150 est $I=\left[\mathrm{0,864};\mathrm{0,956}\right]$.

La fréquence f des utilisateurs satisfaits de cette tablette dans l'échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{130}{150}}\approx \mathrm{0,867}$$

La fréquence f appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%. L'enquête permet de valider l'affirmation du service des ventes de la société.

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