sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2016

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

1. Donner par lecture graphique la valeur de $f\prime \left(1\right)$, puis celle de $f\prime \left(3\right)$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente d à la courbe Γ au point A de coordonnées $\left(1;1\right)$.
     Comme la droite d passe par le point E de coordonnées $\left(0;-1\right)$, on en déduit que : $$f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1-\left(-1\right)}{1-0}}=2$$

     Ainsi, $f\prime \left(1\right)=2$.

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   • La tangente d' à la courbe Γ au point B d'abscisse 3 est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(3\right)=0$.

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   La fonction $f\prime$ est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=a+{\displaystyle \frac{b}{x}}$.

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3. En déduire les valeurs des nombres a et b.

   • Le point $A\left(1;1\right)$ appartient à la courbe Γ donc $f\left(1\right)=1$. Soit $$\begin{array}{ccccc}a+2+b\times \ln \left(1\right)=1& \iff & a+2=1& \iff & a=-1\end{array}$$

   • $f\prime \left(1\right)=2$ d'où $a+b=2$. Soit $b=3$.

   Ainsi, la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\left(x\right)=-x+2+3\ln \left(x\right)$.

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partie b

On admet que la fonction f est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\left(x\right)=-x+2+3\ln \left(x\right)$.

1. Montrer que pour x dans $\left[\mathrm{0,5};10\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x+3}{x}}$.

   D'après les résultats de la partie A : la fonction $f\prime$ est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-1+{\displaystyle \frac{3}{x}}={\displaystyle \frac{-x+3}{x}}$.

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2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ au point A d'abscisse 1.

   Une équation de la tangente d à la courbe Γ au point A d'abscisse 1 est :$$\begin{array}{ccc}y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)& \text{soit}& y=2\left(x-1\right)+1\end{array}$$

   la tangente à la courbe Γ au point A a pour équation $y=2x-1$.

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3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$, puis dresser le tableau de variations de f sur cet intervalle.

   La dérivée $f\prime$ est définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-x+3}{x}}$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-x+3$.

   Les variations de la fonction f se déduisant du signe de sa dérivée, nous pouvons établir le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ et des variations de la fonction f :

   x	0,5		3		10
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$\mathrm{1,5}+3\ln \mathrm{0,5}$		$3\ln \left(3\right)-1$		$3\ln \left(10\right)-8$

4. Montrer que sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$ l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution. Donner une valeur approchée de cette solution arrondie au centième.

   $f\left(\mathrm{0,5}\right)=\mathrm{1,5}+3\ln \mathrm{0,5}\approx -\mathrm{0,58}$ et $f\left(3\right)=3\ln \left(3\right)-1\approx \mathrm{2,3}$.

   Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};3\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(\mathrm{0,5}\right)<0<f\left(3\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[\mathrm{0,5};3\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,63}$.

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5. Un logiciel de calcul formel nous donne le résultat suivant :

   1	intégrer  $\left[3\ln \left(x\right)-x+2\right]$
   		$3x\ln \left(x\right)-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$

   Calculer, en unités d'aire, l'aire S du domaine délimité par la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=8$.
   On donnera la valeur exacte de S puis sa valeur arrondie au centième.

   • $f\left(1\right)=1$ et $f\left(8\right)=3\ln \left(8\right)-6\approx \mathrm{0,24}$ alors, d'après le tableau des variations de la fonction f nous pouvons déduire que la fonction f est positive sur l'intervalle $\left[1;8\right]$.

     Par conséquent l'aire S, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=8$ est égale à l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

   • D'après le résultat donné par le logiciel, la fonction F définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $F\left(x\right)=3x\ln \left(x\right)-x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ est une primitive de la fonction f.

   Ainsi, $$\begin{array}{rcl}S={\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(8\right)-F\left(1\right)\\ & =& \left(24\ln \left(8\right)-8-{\displaystyle \frac{64}{2}}\right)-\left(-1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& 24\ln \left(8\right)-{\displaystyle \frac{77}{2}}\end{array}$$

   L'aire du domaine délimité par la courbe Γ, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=8$ est $S=24\ln \left(8\right)-{\displaystyle \frac{77}{2}}$ unités d'aire. Soit environ 11,41 unités d'aire.

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partie c

Tom observe que sur le dessin précédent, la courbe représentative de f est située en dessous des deux tangentes aux points A et B. Il affirme :
« La courbe représentative de f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.»
Démontrer que l'affirmation de Tom est exacte.

La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

Comme la fonction $f\prime$ est définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-1+{\displaystyle \frac{3}{x}}$, on en déduit que $f″$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ par :$$f″\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}$$

Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$, $f″\left(x\right)<0$ donc la fonction f est concave. C'est à dire que la courbe représentative de f sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};10\right]$ est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

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