sujet : Pondichéry 2016

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des quatre questions posées, une seule des trois réponses proposées est exacte.Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.

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1. Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=3x-x\ln x$. On admet que f est dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ et on désigne par $f\prime$ sa fonction dérivée.
   Pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a :

   $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 3-\left(1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\\ & =& 3-\ln x-1\\ & =& 2-\ln x\end{array}$$

   a.   $f\prime \left(x\right)=3-{\displaystyle \frac{1}{x}}$

   b.   $f\prime \left(x\right)=3-\ln x$

   c. $f\prime \left(x\right)=2-\ln x$

2. On considère la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2.
   La somme des 13 premiers termes de cette suite vaut :

   La somme des 13 premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2 est $$S=1\times {\displaystyle \frac{1-2^{13}}{1-2}}=8191$$

   a.   4095

   b.   8191

   c. ${\displaystyle \frac{1-2^{14}}{1-2}}$

3. Une variable aléatoire X suit une loi uniforme sur l'intervalle $\left[2;7\right]$ dont la fonction de densité est représentée ci-dessous.

   $P\left(A\right)$ désigne la probabilité d'un évènement A et $E\left(X\right)$ l'espérance de la variable aléatoire X.

   Les propositions a et c sont manifestement fausses :$$\begin{array}{ccc}P\left(3⩽X⩽7\right)={\displaystyle \frac{7-3}{7-2}}={\displaystyle \frac{4}{5}}& \text{et}& E\left(X\right)={\displaystyle \frac{7+2}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}\end{array}$$

   Vérifions que la proposition b est exacte :$$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾4\right)=P\left(4⩽X⩽7\right)={\displaystyle \frac{7-4}{7-2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}& \text{et}& P\left(2⩽X⩽5\right)={\displaystyle \frac{5-2}{7-2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$

   a.   $P\left(3⩽X⩽7\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$

   b.   $P\left(X⩾4\right)=P\left(2⩽X⩽5\right)$

   c. $E\left(X\right)={\displaystyle \frac{9}{5}}$

4. On réalise un sondage sur un échantillon de n personnes (n, entier naturel non nul).
   Parmi les tailles de l'échantillon proposées ci-dessous, quelle est celle qui permet d'obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 ?

   L'intervalle $\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$ est un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 centré sur la fréquence f observée.

   Por obtenir un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 avec une amplitude de 0,02 la taille n de l'échantillon est solution de l'équation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}=\mathrm{0,02}& \iff & \sqrt{n}={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,02}}}=100\\ & \iff & n={100}^2\end{array}$$

   a.   $n=5000$

   b.  $n=100$

   c. $n=10000$

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