Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2016

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante

partie a

On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :

49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel ;
91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique.

Source: DEPP (juillet 2015)

On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les évènements suivants :

G : « Le candidat s'est présenté au baccalauréat général » ;
T : « Le candidat s'est présenté au baccalauréat technologique» ;
S : « Le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel» ;
R : « Le candidat a été reçu ».

Pour tout évènement A, on note $P (A)$ sa probabilité et $\bar{A}$ son évènement contraire.
De plus, si B est un autre évènement, on note $P_{B} (A)$ la probabilité de A sachant B.

Préciser les probabilités $P (G)$ , $P (T)$ , $P_{T} (R)$ et $P_{G} (R)$ .
- 49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel d'où $P (G) = 0,49$ et $P (T) = 0,2$
- 91,5 % des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6 % des candidats au baccalauréat technologique d'où $P_{G} (R) = 0,915$ et $P_{T} (R) = 0,906$
Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.
Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à 0,1812.
$\begin{matrix} P (T \cap R) = P_{T} (R) \times P (T) & soit & P (T \cap R) = 0,906 \times 0,2 = 0,1812 \end{matrix}$
La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à 0,1812.
Le ministère de l'Éducation Nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8 % pour l'ensemble des candidats présentant l'un des baccalauréats.
1. Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à 0,24845.
  Les évènements G, T et S forment une partition de l'univers, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{matrix} P (R) = P (G \cap R) + P (T \cap R) + P (S \cap R) & soit & P (S \cap R) = P (R) - P (G \cap R) - P (T \cap R) \end{matrix}$
  Or $\begin{array}{rcl} P (G \cap R) & = & P_{G} (R) \times P (G) \\ = & 0,915 \times 0,49 \\ = & 0,44835 \end{array}$
  D'où $P (S \cap R) = 0,878 - 0,44835 - 0,1812 = 0,24845$
  La probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à 0,24845.
2. Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu'il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième.
  49 % des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20 % un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel d'où $\begin{matrix} P (S) = 1 - P (G) - P (T) & soit & P (S) = 1 - 0,49 - 0,2 = 0,31 \end{matrix}$
  $\begin{array}{rcl} P_{S} (R) & = & \frac{P (S \cap R)}{P (S)} \\ = & \frac{0,24845}{0,31} \\ \approx & 0,801 \end{array}$
  80,1 % des candidats au baccalauréat professionnel ont été reçus.

partie b

À l'issue des épreuves du baccalauréat, une étude est faite sur les notes obtenues par les candidats en mathématiques et en français.
On admet que la note de mathématiques peut être modélisée par une variable aléatoire $X_{M}$ qui suit la loi normale de moyenne 12,5 et d'écart-type 3,5.
De même la note de français peut être modélisée par une variable aléatoire $X_{F}$ qui suit la loi normale de moyenne 13,2 et d'écart-type 2,1.

Déterminer $P (9 ⩽ X_{M} ⩽ 16)$ en donnant le résultat arrondi au centième.
$X_{M}$ suit la loi normale de moyenne 12,5 et d'écart-type 3,5 alors $P (12,5 - 3,5 ⩽ X_{M} ⩽ 12,5 + 3,5) \approx 0,68$ .
Soit $P (9 ⩽ X_{M} ⩽ 16) \approx 0,68$ .

Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté en pointillé la fonction densité associée à la variable aléatoire $X_{M}$ . La fonction densité associée à $X_{F}$ est représentée sur un seul de ces graphiques.
Quel est ce graphique ? Expliquer le choix.


Graphique 1	Graphique 2	Graphique 3

La variable aléatoire $X_{F}$ suit la loi normale de moyenne 13,2 et d'écart-type 2,1 alors :

La courbe représentative de la fonction de densité admet pour axe de symétrie la droite d'équation $x = 13,2$ donc le graphique 3 ne convient pas.
L'écart-type de la variable aléatoire $X_{F}$ est inférieur à celui de la variable $X_{M}$ . Par conséquent , les réalisations de $X_{F}$ sont moins dispersées autour de la moyenne 13,2 ( $P (6,9 ⩽ X_{F} ⩽ 19,5) \approx 0,997$ ) donc le graphique 1 ne convient pas.

La fonction densité associée à $X_{F}$ est représentée par le graphique 2.

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