Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2016

Corrigé de l'exercice 4 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Une étude statistique sur une population d'acheteurs a montré que :

90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin ;
60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant internet

Dans toute la suite de l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
Une personne est choisie au hasard parmi les acheteurs.
On note :

$a_{n}$ la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat sur internet ;
$b_{n}$ la probabilité que cette personne fasse son n-ième achat en magasin.

On suppose de plus que $a_{1} = 1$ et $b_{1} = 0$ .

On note $P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste correspondant au n-ième achat. Ainsi $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

On note :

A l'état : « La personne effectue son achat sur internet» ;
B l'état : « La personne effectue son achat en magasin ».

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
- 90 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en utilisant internet affirment vouloir continuer à utiliser internet pour faire le suivant. Les autres personnes comptent faire leur prochain achat en magasin d'où $P_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 0,9$ et $P_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,9 = 0,1$ .
- 60 % des personnes qui ont fait leur dernier achat en magasin affirment vouloir continuer à effectuer le suivant en magasin. Les autres comptent effectuer leur prochain achat en utilisant internet d'où $P_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 0,6$ et $P_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,6 = 0,4$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
La matrice de transition M de ce graphe est $M = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{matrix})$ .
1. Calculer la matrice $M^{4}$ .
  À l'aide de la calculatrice, on a $M^{4} = (\begin{array}{ll} 0,8125 & 0,1875 \\ 0,75 & 0,25 \end{array})$ .
2. En déduire que la probabilité que la personne interrogée fasse son 5^e achat sur internet est égale à 0,8125.
  $\begin{matrix} P_{5} = P_{1} \times M^{4} & soit & P_{5} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times (\begin{array}{ll} 0,8125 & 0,1875 \\ 0,75 & 0,25 \end{array}) = (\begin{matrix} 0,8125 & 0,1875 \end{matrix}) \end{matrix}$
  La probabilité que la personne interrogée fasse son 5^e achat sur internet est égale à 0,8125.
On note $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ l'état stable associé à ce graphe.
1. Montrer que les nombres a et b sont solutions du système : ${\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,4 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array}$ .
  Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{matrix} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 a + 0,4 b & 0,1 a + 0,6 b \end{matrix}) \end{matrix}$
  D'où a et b vérifient la relation $a = 0,9 a + 0,4 b$ . Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{matrix} a = 0,9 a + 0,4 b \\ a + b = 1 \end{matrix} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} 0,1 a - 0,4 b = 0 \\ a + b = 1 \end{matrix} \end{matrix}$
  Ainsi, a et b sont solutions du système : ${\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,4 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array}$ .
2. Résoudre le système précédent.
  $\begin{matrix} {\begin{array}{rcl} 0,1 a - 0,4 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a + b & = & 1 \\ 0,5 a & = & 0,4 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{rcl} a = 0,8 \\ b = 0,2 \end{array} \end{matrix}$
  L'état stable est $P = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix})$ .
3. À long terme, quelle est la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet ?
  L'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix})$ par conséquent, sur le long terme, la probabilité que cette personne fasse ses achats sur internet est égale à 0,8.

Montrer que pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,4$ .
Pour tout entier naturel n non nul : $(\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 a_{n} + 0,4 b_{n} & 0,1 a_{n} + 0,6 b_{n} \end{matrix})$
Soit $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,4 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ . D'où tout entier naturel n non nul, $a_{n + 1} = 0,9 a_{n} + 0,4 \times (1 - a_{n}) = 0,5 a_{n} + 0,4$
Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on a : $a_{n + 1} = 0,5 a_{n} + 0,4$ .

Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il affiche le plus petit entier naturel n non nul tel que $a_{n} ⩽ 0,801$ .

variables :	N est un entier naturel A est un nombre réel
initialisation :	Affecter à N la valeur 1 Affecter à A la valeur 1
traitement :	Tant que $A > 0,801$ Affecter à A la valeur $0,5 \times A + 0,4$ Affecter à N la valeur $N + 1$ Fin Tant que
sortie :	Afficher N

Quelle est la valeur affichée par l'algorithme en sortie ?
On peut programmer l'algorithme sur la calculatrice ou alors, calculer $\begin{matrix} P_{8} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times M^{7} \approx (\begin{matrix} 0,8016 & 0,1984 \end{matrix}) \end{matrix}$ et $\begin{matrix} P_{9} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times M^{8} \approx (\begin{matrix} 0,8008 & 0,1992 \end{matrix}) \end{matrix}$
La valeur affichée par l'algorithme en sortie est 9.

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