Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2016

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

La partie A peut être traitée indépendamment des parties B et C.

L'entreprise BBE (Bio Bois Énergie) fabrique et vend des granulés de bois pour alimenter des chaudières et des poêles chez des particuliers ou dans des collectivités.
L'entreprise produit entre 1 et 15 tonnes de granulés par jour.

Les coûts de fabrication quotidiens sont modélisés par la fonction C définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par : $C (x) = 0,3 x^{2} - x + e^{- x + 5}$ où x désigne la quantité de granulés en tonnes et $C (x)$ le coût de fabrication quotidien correspondant en centaines d'euros.
Dans l'entreprise BBE le prix de vente d'une tonne de granulés de bois est de 300 euros.
La recette quotidienne de l'entreprise est donc donnée par la fonction R définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par : $R (x) = 3 x$ où x désigne la quantité de granulés en tonnes et $R (x)$ la recette quotidienne correspondante en centaines d'euros.
On définit par $D (x)$ le résultat net quotidien de l'entreprise en centaines d'euros, c'est-à-dire la différence entre la recette $R (x)$ et le coût $C (x)$ , où x désigne la quantité de granulés en tonnes.

partie a : Étude graphique

Sur le graphique situé en annexe, on donne et Δ les représentations graphiques respectives des fonctions C et R dans un repère d'origine O.
Dans cette partie A, répondre aux questions suivantes à l'aide du graphique, et avec la précision permise par celui-ci. Aucune justification n'est demandée.

Déterminer la quantité de granulés en tonnes pour laquelle le coût quotidien de l'entreprise est minimal.
Le coût quotidien de l'entreprise est minimal pour une production d'environ 4,5 tonnes.
1. Déterminer les valeurs $C (6)$ et $R (6)$ puis en déduire une estimation du résultat net quotidien en euros dégagé par l'entreprise pour 6 tonnes de granulés fabriqués et vendus.
  Avec la précision permise par le graphique, $C (6) \approx 5$ et $R (6) = 18$ d'où un résultat net quotidien d'environ 1300 euros.
2. Déterminer les quantités possibles de granulés en tonnes que l'entreprise doit produire et vendre quotidiennement pour dégager un résultat net positif, c'est-à-dire un bénéfice.
  L'entreprise réalise un bénéfice pour toute production x telle que $C (x) < R (x)$ . C'est-à-dire sur l'intervalle où la courbe 𝒞 est située en dessous de la droite Δ. Soit avec la précision permise par le graphique pour $x \in [2,8; 13,3]$ .
  L'entreprise réalise un bénéfice pour une production comprise entre 2,8 et 13,3 tonnes.

partie b : Étude d'une fonction

On considère la fonction g définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par : $g (x) = - 0,6 x + 4 + e^{- x + 5}$ . On admet que la fonction g est dérivable sur l'intervalle $[1; 15]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $g' (x)$ pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ .
  $g'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par : $g' (x) = - 0,6 - e^{- x + 5}$ .
2. En déduire que la fonction g est décroissante sur l'intervalle $[1; 15]$ .
  Les variations de la fonction g se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x, on a : $\begin{array}{rcl} e^{- x + 5} > 0 & \Leftrightarrow & - e^{- x + 5} < 0 \\ \Leftrightarrow & - 0,6 - e^{- x + 5} < - 0,6 \end{array}$
  Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , $g' (x) < 0$ . Donc la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle $[1; 15]$ .
1. Dresser le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle $[1; 15]$ , en précisant les valeurs $g (1)$ et $g (15)$ arrondies à l'unité.
  $g (1) = 3,4 + e^{4} \approx 58$ et $g (15) = - 5 + e^{- 11} \approx - 5$ . D'où le tableau de variation de la fonction g avec les valeurs de $g (1)$ et $g (15)$ arrondies à l'unité.
  x 1 15
  $g (x)$
  58
  $- 5$
2. Le tableau de variation permet d'affirmer que l'équation $g (x) = 0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $[1; 15]$ .
  Donner une valeur approchée de α à 0,1 près.
  À l'aide de la calculatrice, on trouve $α \approx 6,9$ .
3. Déduire des questions précédentes le tableau de signe de $g (x)$ sur l'intervalle $[1; 15]$ .
  x 1 $α \approx 6,9$ 15
  Signe de $g (x)$ + $0_{|}^{|}$ −

partie c : Application économique

Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , on a : $D (x) = - 0,3 x^{2} + 4 x - e^{- x + 5}$ .
Pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , $\begin{array}{rcl} D (x) & = & R (x) - C (x) \\ = & 3 x - (0,3 x^{2} - x + e^{- x + 5}) \\ = & - 0,3 x^{2} + 4 x - e^{- x + 5} \end{array}$
La fonction D est définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par $D (x) = - 0,3 x^{2} + 4 x - e^{- x + 5}$ .
On admet que la fonction D est dérivable sur l'intervalle $[1; 15]$ et on note $D'$ sa fonction dérivée.
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , on a $D' (x) = g (x)$ , où g est la fonction étudiée dans la partie B.
$D'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[1; 15]$ par $\begin{array}{rcl} D' (x) & = & - 2 \times 0,3 x + 4 - (- e^{- x + 5}) \\ = & - 0,6 x + 4 + e^{- x + 5} \end{array}$
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $[1; 15]$ , on a $D' (x) = g (x)$ .

En déduire les variations de la fonction D sur l'intervalle $[1; 15]$ .

Les variations de la fonction D se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variations de la fonction D avec les valeurs arrondies au centième près :

x	1		$α \approx 6,9$		15
$D' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$D (x)$	$- 50,9$		13,17		$- 7,5$

1. Pour quelle quantité de granulés l'entreprise va-t-elle rendre son bénéfice maximal ?
  On donnera une valeur approchée du résultat à 0,1 tonne près.
  Le bénéfice maximal est obtenu pour la production et la vente de 6,9 tonnes de granulés.
2. Calculer alors le bénéfice maximal à l'euro près.
  Le bénéfice maximal est d'environ 1317 euros.

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