Baccalauréat 2016 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Pondichéry 2016

Corrigé de l'exercice 4 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

En janvier 2016, une personne se décide à acheter un scooter coûtant 5700 euros sans apport personnel. Le vendeur lui propose un crédit à la consommation d'un montant de 5700 euros, au taux mensuel de 1,5 %. Par ailleurs, la mensualité fixée à 300 euros est versée par l'emprunteur à l'organisme de crédit le 25 de chaque mois. Ainsi, le capital restant dû augmente de 1,5 % puis baisse de 300 euros.
Le premier versement a lieu le 25 février 2016.

On note $u_{n}$ le capital restant dû en euros juste après la n-ième mensualité (n entier naturel non nul). On convient que $u_{0} = 5700$ .

Les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,01 près si nécessaire.

1. Démontrer que $u_{1}$ , capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de 5485,50 euros.
  $u_{1} = 1,015 \times 5700 - 300 = 5485,50$
  Le capital restant dû au 26 février 2016 juste après la première mensualité, est de 5485,50 euros.
2. Calculer $u_{2}$ .
  $u_{2} = 1,015 \times 5485,50 - 300 = 5267,78$
  Le capital restant dû au 26 mars 2016 juste après la deuxième mensualité, est de 5267,78 euros.

On admet que la suite $(u_{n})$ est définie pour tout entier naturel n par : $u_{n + 1} = 1,015 u_{n} - 300$ .

On considère l'algorithme suivant :

variables :

n est un entier naturel
u est un nombre réel

traitement :

Affecter à u la valeur 5700
Affecter à n la valeur 0

Tant que $u > 4500$ faire

u prend la valeur $1,015 \times u - 300$
n prend la valeur n + 1

Fin Tant que

sortie :

Afficher n

Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaires entre la deuxième et la dernière colonne.
Valeur de u
5700 5485,50 5267,78 5046,80 4822,50 4594,84 4363,76
Valeur de n
0 1 2 3 4 5 6
$u > 4500$ (vrai/faux)
vrai vrai vrai vrai vrai vrai faux
Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
La valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme est 6. Le capital restant dû au 26 juillet 2016 juste après la sixième mensualité, sera inférieur à 4500 euros.

Soit la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 20000$ .
1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : $v_{n + 1} = 1,015 \times v_{n}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 20000 \\ = & 1,015 u_{n} - 300 - 20000 \\ = & 1,015 u_{n} - 20300 \\ = & 1,015 \times (u_{n} - 20000) \\ = & 1,015 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,015 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,015.
2. En déduire que pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = 20000 - 14300 \times {1,015}^{n}$ .
  Le premier terme de la suite $(v_{n})$ est $v_{0} = 5700 - 20000 = - 14300$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,015 et de premier terme $v_{0} = - 14300$ donc pour tout entier naturel n, $v_{n} = - 14300 \times {1,015}^{n}$ .
  Pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 20000 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 20000$ donc :
  pour tout entier naturel n, on a $u_{n} = 20000 - 14300 \times {1,015}^{n}$ .
À l'aide de la réponse précédente, répondre aux questions suivantes :
1. Démontrer qu'une valeur approchée du capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est 2121,68 euros.
  $u_{15} = 20000 - 14300 \times {1,015}^{15} \approx 2121,68$
  Le capital restant dû par l'emprunteur au 26 avril 2017 est 2121,68 euros.
2. Déterminer le nombre de mensualités nécessaires pour rembourser intégralement le prêt.
  On cherche le plus petit entier N solution de l'inéquation $20000 - 14300 \times {1,015}^{n} ⩽ 0$ .
  $\begin{array}{rcll} 20000 - 14300 \times {1,015}^{n} ⩽ 0 & \Leftrightarrow & - 14300 \times {1,015}^{n} ⩽ - 20000 \\ \Leftrightarrow & {1,015}^{n} ⩾ \frac{200}{143} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,015}^{n}) ⩾ \ln (\frac{200}{143}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln (1,015) ⩾ \ln (\frac{200}{143}) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (\frac{200}{143})}{\ln (1,015)} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln (\frac{200}{143})}{\ln (1,015)} \approx 22,5$ alors, le plus petit entier N solution de l'inéquation $20000 - 14300 \times {1,015}^{n} ⩽ 0$ est $N = 23$ .
  Le prêt sera intégralement remboursé en 23 mensualités.
3. Quel sera le montant de la dernière mensualité ?
  Le montant du capital restant dû au bout de 22 mois est : $20000 - 14300 \times {1,015}^{22} \approx 157,84$
  Soit avec un taux d'intérêt mensuel de 1,5 % sur le capital restant dû, le montant en euros de la 23^e mensualité est : $157,84 \times 1,015 \approx 160,21$
  Le montant de la dernière mensualité est de 160,21 euros.
4. Lorsque la personne aura terminé de rembourser son crédit à la consommation, quel sera le coût total de son achat ?
  La somme totale versée par l'emprunteur pour rembourser son crédit est : $300 \times 22 + 160,21 = 6760,21$
  Le coût total de l'achat est de 6760,21 euros.

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Valeur de u	5700	5485,50	5267,78	5046,80	4822,50	4594,84	4363,76
Valeur de n	0	1	2	3	4	5	6
$u > 4500$ (vrai/faux)	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	vrai	faux