sujet : Amérique du Sud 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

f est la fonction définie sur $\left[0;12\right]$ par $f\left(x\right)=2x{\mathrm{e}}^{-x}$.

partie a

1. Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2x& \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$.

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 2\times {\mathrm{e}}^{-x}+\left(2x\right)\times \left(-{\mathrm{e}}^{-x}\right)\\ & =& 2{\mathrm{e}}^{-x}-2x{\mathrm{e}}^{-x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-2x{\mathrm{e}}^{-x}+2{\mathrm{e}}^{-x}$.

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Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier.

2. 1. Dresser le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ en le justifiant.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ on a : $$f\prime \left(x\right)=-2x{\mathrm{e}}^{-x}+2{\mathrm{e}}^{-x}=2\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$$

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ on en déduit que $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $\left(1-x\right)$ sur l'intervalle $\left[0;12\right]$. D'où le tableau de signe de $f\prime$ et des variations de la fonction f :

      x	0		1		12
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$	0		$2{\mathrm{e}}^{-1}$		$24{\mathrm{e}}^{-12}$

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   2. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet deux solutions dans $\left[0;12\right]$.
      Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions.

      La fonction f est dérivable donc continue avec $f\left(0\right)=0$, $f\left(1\right)={\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,74}$ et $f\left(12\right)=24{\mathrm{e}}^{-12}\approx \mathrm{0,0001}$ . En outre :

      • Sur l'intervalle $\left[0;1\right]$, la fonction f est strictement croissante et $f\left(0\right)<\mathrm{0,5}<f\left(1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une unique solution $x_1\in \left[0;1\right]$. Avec la calculatrice, on trouve $x_1\approx \mathrm{0,36}$.

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      • Sur l'intervalle $\left[1;12\right]$, la fonction f est strictement décroissante et $f\left(12\right)<\mathrm{0,5}<f\left(1\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet une unique solution $x_2\in \left[1;12\right]$. Avec la calculatrice, on trouve $x_2\approx \mathrm{2,15}$.

      L'équation $f\left(x\right)=\mathrm{0,5}$ admet exactement deux solutions $x_1\approx \mathrm{0,36}$ et $x_2\approx \mathrm{2,15}$.

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3. Étudier la convexité de la fonction f sur l'intervalle $\left[0;12\right]$.

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$ définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ par $f″\left(x\right)=2\left(x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   Or pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ donc $f″\left(x\right)$ est du même signe que $\left(x-2\right)$. D'où le tableau de signe de $f″$ :

   x	0		2		12
   $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

   Ainsi, la fonction f est concave sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[2;12\right]$.

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partie b

1. 1. Décrire les variations du taux d'alcoolémie de cette personne pendant les 12 heures suivant la consommation d'alcool.

      Le taux d'alcoolémie de cette personne augmente pendant la première heure puis, commence à diminuer à partir d'une heure. La fonction f étant convexe sur l'intervalle $\left[2;12\right]$, la diminution du taux d'alcoolémie s'accélère à partir de la deuxième heure.

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   2. À quel instant le taux d'alcoolémie de cette personne est-il maximal ?
      Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième.

      Le taux d'alcoolémie de cette personne est maximal au bout d'une heure. Il est alors égal à environ 0,74 g/L.

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2. Le code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcoolémie est supérieur ou égal à 0,5 g/L.
   Une fois l'alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?

   Compte tenu des variations de la fonction f, l'ensemble solution de l'inéquation $f\left(x\right)<\mathrm{0,5}$ est $S=\left[0;x_1\right[\cup \left]x_2;12\right]$. Soit avec des valeurs approchées au centième près, $S\approx \left[0;\mathrm{0,35}\right]\cup \left[\mathrm{2,16};12\right]$.

   Le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend une valeur conforme à la législation au bout de deux heures et dix minutes.

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