Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2018

correction de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce marché. En 2017, la société A entretient 30 % de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

3 % des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année suivante ;
5 % des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année suivante ;
les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés A et B.

On note $a_{n}$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A pendant l'année $2017 + n$ . De même, on note $b_{n}$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société B lors de l'année $2017 + n$ .
On a donc $a_{0} = 0,3$ et $b_{0} = 0,7$ .

1. Calculer $a_{1}$ . Interpréter le résultat.
  $\begin{array}{rcl} a_{1} & = & (1 - \frac{3}{100}) \times a_{0} + 0,05 \times b_{0} \\ = & 0,97 \times 0,3 + 0,05 \times 0,7 \\ = & 0,326 \end{array}$
  En 2018, 32,6 % des ascenseurs sont entretenus par la société A.
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,97 a_{n} + 0,05 b_{n}$ puis en déduire que $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,05$ .
  Pour tout entier naturel n, on a : $\begin{matrix} a_{n + 1} = (1 - \frac{3}{100}) \times a_{n} + 0,05 \times b_{n} & \Leftrightarrow & a_{n + 1} = 0,97 a_{n} + 0,05 b_{n} \end{matrix}$
  Les sociétés A et B, se partagent 100 % du marché donc pour tout entier naturel n, on a $a_{n} + b_{n} = 1$ . Soit pour tout entier naturel n, $b_{n} = 1 - a_{n}$ .
  On en déduit que pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,97 a_{n} + 0,05 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,97 a_{n} + 0,05 - 0,05 a_{n} \\ = & 0,92 a_{n} + 0,05 \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,05$ .

Le directeur de la société A constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5 %.
Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50 %.

Algorithme 1

Algorithme 2

Algorithme 3

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A ⩽ 0,5$
$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,92 \times A + 0,05 \\ N \leftarrow N + 1 \end{array}$
Fin Tant que

Afficher $2017 + N$

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A > 0,5$
$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,92 \times A + 0,05 \\ N \leftarrow N + 1 \end{array}$
Fin Tant que

Afficher $2017 + N$

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A ⩽ 0,5$
$A \leftarrow 0,92 \times A + 0,05$
Fin Tant que

$N \leftarrow N + 1$

Afficher $2017 + N$

L'algorithme 2 ne convient pas la condition « Tant que $A > 0,5$ » est fausse dès le départ donc la boucle « Tant que » n'est pas exécutée. La valeur obtenue par cet algorithme est 2017.
L'algorithme 3 ne convient pas l'incrémention de la variable N est faite à la fin de l'éxécution de la boucle « Tant que ». La valeur obtenue par cet algorithme est 2018.

L'algorithme 1 est le seul des trois algorithmes qui permette d'obtenir l'année à partir de laquelle la part de marché de la société A dépassera 50 %.

Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question.
La valeur de l'année affichée par l'algorithme 1 est 2029.

Pour tout entier naturel n, on pose $u_{n} = a_{n} - 0,625$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,625 \\ = & 0,92 a_{n} + 0,05 - 0,625 \\ = & 0,92 a_{n} - 0,575 \\ = & 0,92 \times (a_{n} - 0,625) \\ = & 0,92 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,92 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et dont le premier terme $u_{0} = 0,3 - 0,625 = - 0,325$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et dont le premier terme $u_{0} = - 0,325$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,625 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,625$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ . Interpréter le résultat.
  $0 < 0,92 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,92}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 0,325 \times {0,92}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625 = 0,625$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,625$ . Ce qui signifie, qu'à partir d'un certain nombre d'années, la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A se stabilise autour de 62,5 %.
À l'aide de l'expression donnée dans la question 3. b., résoudre l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,5$ . Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 0,625 - 0,325 \times {0,92}^{n} ⩾ 0,5 & \Leftrightarrow & - 0,325 \times {0,92}^{n} ⩾ - 0,125 \\ \Leftrightarrow & {0,92}^{n} ⩽ \frac{0,125}{0,325} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,92}^{n}) ⩽ \ln (\frac{5}{13}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,92 ⩽ \ln (\frac{5}{13}) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (\frac{5}{13})}{\ln 0,92} & \ln 0,92 < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln (\frac{5}{13})}{\ln 0,92} \approx 11,46$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,5$ est égal à 12.
On retrouve le résultat obtenu avec l'algorithme : c'est en 2029 que la part de marché de la société A dépassera 50 %.

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