Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Amérique du Sud 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d'ascensoristes, notées A et B, se partagent ce marché. En 2017, la société A entretient 30 % de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

3 % des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année suivante ;
5 % des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année suivante ;
les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés A et B.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel n, on note :

$a_{n}$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société A lors de l'année $2017 + n$ ;
$b_{n}$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société B lors de l'année $2017 + n$ ;
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix})$ l'état probabiliste de l'année $2017 + n$ .

On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix})$ .

partie a

1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B.
  D'une année sur l'autre :
  - 3 % des ascenseurs entretenus par la société A seront entretenus par la société B l'année suivante d'où $p_{A_{n}} (B_{n + 1}) = 0,03$ et $p_{A_{n}} (A_{n + 1}) = 1 - 0,03 = 0,97$ .
  - 5 % des ascenseurs entretenus par la société B seront entretenus par la société A l'année suivante d'où $p_{B_{n}} (A_{n + 1}) = 0,05$ et $p_{B_{n}} (B_{n + 1}) = 1 - 0,05 = 0,95$ .
  D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
2. Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
  La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{matrix})$ .
Déterminer la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018.
La matrice traduisant l'état probabiliste l'année 2018 est $P_{1} = P_{0} \times M$ soit : $\begin{matrix} P_{1} & = & (\begin{matrix} 0,3 & 0,7 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,326 & 0,674 \end{matrix}) \end{matrix}$
La probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société A en 2018 est égale à 0,326.
Montrer que $P = (\begin{matrix} 0,625 & 0,375 \end{matrix})$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état $P_{n}$ converge vers un état stable $P = (\begin{matrix} a & b \end{matrix})$ avec $a + b = 1$ et vérifiant : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,97 a + 0,05 b & 0,03 a + 0,95 b \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} a = 0,97 a + 0,05 b \\ b = 0,03 a + 0,95 b \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,03 a - 0,05 b = 0 \\ - 0,03 a + 0,05 b = 0 \end{matrix} \end{array}$
D'où a et b vérifient la relation $0,03 a - 0,05 b = 0$ . Comme d'autre part, $a + b = 1$ on en déduit que a et b sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{rcl} 0,03 a - 0,05 b & = & 0 \\ a + b & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,08 a & = & 0,05 \\ a + b & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} a = 0,625 \\ b = 0,375 \end{matrix} \end{array}$
L'état stable du système est $P = (\begin{matrix} 0,625 & 0,375 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A se stabilise autour de 62,5 %.
Démontrer que pour tout entier naturel n, on a : $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,05$ .
Pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} a_{n + 1} & b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} a_{n} & b_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,97 & 0,03 \\ 0,05 & 0,95 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} a_{n} \times 0,97 + b_{n} \times 0,05 & a_{n} \times 0,03 + b_{n} \times 0,95 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier n, $a_{n + 1} = 0,97 a_{n} + 0,05 b_{n}$ avec $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} a_{n + 1} & = & 0,97 a_{n} + 0,05 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,97 a_{n} + 0,05 - 0,05 a_{n} \\ = & 0,92 a_{n} + 0,05 \end{array}$
Pour tout entier naturel n non nul, on a $a_{n + 1} = 0,92 a_{n} + 0,05$ .

partie b

Le directeur de la société A constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5 %.

Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50 %.

Algorithme 1

Algorithme 2

Algorithme 3

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A ⩽ 0,5$
$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,92 \times A + 0,5 \\ N \leftarrow N + 1 \end{array}$
Fin Tant que

Afficher $2017 + N$

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A > 0,5$
$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,92 \times A + 0,5 \\ N \leftarrow N + 1 \end{array}$
Fin Tant que

Afficher $2017 + N$

$\begin{array}{l} A \leftarrow 0,3 \\ N \leftarrow 0 \end{array}$

Tant que $A ⩽ 0,5$
$A \leftarrow 0,92 \times A + 0,5$
Fin Tant que

$N \leftarrow N + 1$

Afficher $2017 + N$

L'algorithme 2 ne convient pas la condition « Tant que $A > 0,5$ » est fausse dès le départ donc la boucle « Tant que » n'est pas exécutée. La valeur obtenue par cet algorithme est 2017.
L'algorithme 3 ne convient pas l'incrémention de la variable N est faite à la fin de l'éxécution de la boucle « Tant que ». La valeur obtenue par cet algorithme est 2018.

L'algorithme 1 est le seul des trois algorithmes qui permette d'obtenir l'année à partir de laquelle la part de marché de la société A dépassera 50 %.

Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question.
La valeur de l'année affichée par l'algorithme 1 est 2029.

Pour tout entier naturel n, on pose $u_{n} = a_{n} - 0,625$ .
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,625 \\ = & 0,92 a_{n} + 0,05 - 0,625 \\ = & 0,92 a_{n} - 0,575 \\ = & 0,92 \times (a_{n} - 0,625) \\ = & 0,92 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,92 u_{n}$ donc $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et dont le premier terme $u_{0} = 0,3 - 0,625 = - 0,325$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : $a_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625$ .
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,92 et dont le premier terme $u_{0} = - 0,325$ donc pour tout entier naturel n, on a : $u_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,625 \Leftrightarrow a_{n} = u_{n} + 0,625$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $a_{n} = - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625$ .
3. Déterminer la limite de la suite $(a_{n})$ . Interpréter le résultat.
  $0 < 0,92 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,92}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 0,325 \times {0,92}^{n} = 0$ et $\lim_{n \to + \infty} - 0,325 \times {0,92}^{n} + 0,625 = 0,625$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0,625$ . On retrouve la valeur de a de l'état stable soit à partir d'un certain nombre d'années, la proportion d'ascenseurs entretenus par la société A se stabilise autour de 62,5 %.
À l'aide de l'expression donnée dans la question 2. b., résoudre l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,5$ . Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 0,625 - 0,325 \times {0,92}^{n} ⩾ 0,5 & \Leftrightarrow & - 0,325 \times {0,92}^{n} ⩾ - 0,125 \\ \Leftrightarrow & {0,92}^{n} ⩽ \frac{0,125}{0,325} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,92}^{n}) ⩽ \ln (\frac{5}{13}) & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,92 ⩽ \ln (\frac{5}{13}) & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln (\frac{5}{13})}{\ln 0,92} & \ln 0,92 < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln (\frac{5}{13})}{\ln 0,92} \approx 11,46$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $a_{n} ⩾ 0,5$ est égal à 12.
On retrouve le résultat obtenu avec l'algorithme : c'est en 2029 que la part de marché de la société A dépassera 50 %.

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