sujet : Amérique du Sud 2018

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.

1. Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p=\mathrm{0,1}$.
   Dans un échantillon de 400 personnes, on observe ce caractère sur 78 individus.

   Affirmation 1 : Au seuil de 95 %, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère.

   Avec $n=400$, $np=40$ et $n\left(1-p\right)=360$, les critères d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont vérifiés.

   • La fréquence observée du caractère dans l'échantillon de taille 400 est : $f={\displaystyle \frac{78}{400}}=\mathrm{0,195}$.
   • L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion $p=\mathrm{0,1}$ dans les échantillons de taille 400 est $$I=\left[\mathrm{0,1}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,9}}{400}}};\mathrm{0,1}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,1}\times \mathrm{0,9}}{400}}}\right]=\left[\mathrm{0,0706};\mathrm{0,1294}\right]$$

   Comme $\mathrm{0,195}\notin \left[\mathrm{0,0706};\mathrm{0,1294}\right]$, cet échantillon n'est pas représentatif de la population totale au risque d'erreur de 5 %. Par conséquent l'affirmation 1 est fausse.

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2. Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;7\right]$.

   Affirmation 2 : Le temps d'attente moyen à ce guichet est de 4 minutes.

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire X qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[1;7\right]$ est le réel :$$E\left(X\right)={\displaystyle \frac{1+7}{2}}=4$$

   L'affirmation 2 est vraie.

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3. La fonction g est définie sur $ℝ$ par $g\left(x\right)=x^2$.

   Affirmation 3 : La valeur moyenne de g sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ est égale à ${\displaystyle \frac{16}{3}}$.

   La valeur moyenne m de la fonction g sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{2-\left(-2\right)}}\times {\displaystyle {\int }_{-2}^2}\left(x^2\right)\mathrm{d}x& \iff & m={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_{-2}^2\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left[{\displaystyle \frac{8}{3}}-\left(-{\displaystyle \frac{8}{3}}\right)\right]\\ & \iff & m={\displaystyle \frac{1}{4}}\times {\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}$$

   L'affirmation 3 est fausse.

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4. x désigne un nombre réel négatif.

   Affirmation 4 :$\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel x.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-x}>0$ par conséquent, l'expression $\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)$ est définie quel que soit le nombre réel x.

   • Méthode 1 :

     Pour tout réel x, $$\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{x+1}}{{\mathrm{e}}^x}}\right)=\ln \left(\mathrm{e}\right)=1$$

   • Méthode 2 :

     Pour tout réel x, $$\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=\left(x+1\right)-x=1$$

   Ainsi, quel que soit le nombre réel x, $\ln \left({\mathrm{e}}^{x+1}\right)-\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=1$. L'affirmation 4 est vraie.

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