sujet : Asie 2018

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

partie a

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de paramètres $\mu =7$ et $\sigma =1$.

1. Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre 5 et 8 jours après le départ ?

   Avec la calculatrice, on trouve $P\left(5⩽X⩽8\right)\approx \mathrm{0,819}$.

   La probabilité que le navigateur termine sa course entre 5 et 8 jours après le départ est 0,819.

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2. Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de 5 jours.
   Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde ?

   Selon le modèle de calculatrice utilisée, la réponse est immédiate ou $$\begin{array}{rcl}P\left(X<5\right)& =& P\left(X⩽7\right)-P\left(5<X<7\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(5<X<7\right)\approx \mathrm{0,023}\end{array}$$

   La probabilité que le navigateur batte le record du monde est 0,023.

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partie b

1. Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.

   • La probabilité que le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16 d'où $P\left(M\right)=\mathrm{0,16}$ et $P\left(\overline{M}\right)=1-\mathrm{0,16}=\mathrm{0,84}$.
   • Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95 d'où $P_M\left(F\right)=\mathrm{0,95}$ et $P_M\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$.
   • Sinon, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,50 d'où $P_{\overline{M}}\left(F\right)=\mathrm{0,5}$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{F}\right)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est 0,428.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(\overline{F}\right)=P\left(M\cap \overline{F}\right)+P\left(\overline{M}\cap \overline{F}\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}& P\left(M\cap \overline{F}\right)=P_M\left(\overline{F}\right)\times P\left(M\right)& \text{soit}& P\left(M\cap \overline{F}\right)=\mathrm{0,05}\times \mathrm{0,16}=\mathrm{0,008}\\ \text{et}& P\left(\overline{M}\cap \overline{F}\right)=P_{\overline{M}}\left(\overline{F}\right)\times P\left(\overline{M}\right)& \text{soit}& P\left(\overline{M}\cap \overline{F}\right)=\mathrm{0,5}\times \mathrm{0,84}=\mathrm{0,42}\end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(\overline{F}\right)=\mathrm{0,008}+\mathrm{0,42}=\mathrm{0,428}$$

   La probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la prochaine course est égale à 0,428.

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3. L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.
   Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins de 6 jours.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{F}}\left(M\right)={\displaystyle \frac{P\left(M\cap \overline{F}\right)}{P\left(\overline{F}\right)}}& \text{soit}& P_{\overline{F}}\left(M\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,008}}{\mathrm{0,428}}}\approx \mathrm{0,019}\end{array}$$

   Si l'entreprise ne finance pas le navigateur, la probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est 0,019.

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partie c

L'entreprise « Régate » sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.
Ces derniers doivent afficher le slogan « Avec Régate. j'ai 97 % de chance d'être sur le podium ! ».

L'étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi 280 sportifs de chez « Régate », 263 sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?

On a $n=280$, $n\times p=280\times \mathrm{0,97}=\mathrm{271,6}$ et $n\times \left(1-p\right)=280\times \mathrm{0,03}=\mathrm{8,4}$.
Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de sportifs qui sont montés sur le podium dans des échantillons de taille $n=280$ est : $$I=\left[\mathrm{0,97}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{280}}};\mathrm{0,97}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,97}\times \mathrm{0,03}}{280}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,95};\mathrm{0,99}\right]$$

La fréquence de sportifs qui sont montés sur le podium est $f={\displaystyle \frac{263}{280}}\approx \mathrm{0,939}$.

La fréquence de sportifs qui sont montés sur le podium n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, au risque d'erreur de 5 %, on met en doute la véracité du slogan .

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