Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un pays compte 300 loups en 2017. On estime que la population des loups croit naturellement au rythme de 12 % par an. Pour réguler la population des loups, le gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de 18 loups par an.
On modélise la population par une suite $(u_{n})$ le terme $u_{n}$ représentant le nombre de loups de ce pays en $2017 + n$ .

1. Avec ce modèle, vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.
  Le nombre de loups de ce pays en 2018 est donné par $u_{1}$ : $u_{1} = 300 \times (1 + \frac{12}{100}) - 18 = 318$
  Avec ce modèle, le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de 318.
2. Justifier que, pour tout entier $n \in ℕ$ , $u_{n + 1} = 1,12 u_{n} - 18$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 12 % est égal à 1,12. $u_{n}$ représentant le nombre de loups de ce pays en $2017 + n$ , le nombre de loups un an plus tard s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 1,12 ( augmentation de 12 % )}{\to} 1,12 u_{n} \overset{- 18 ( quota de loups tués )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,12 u_{n} - 18}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 1,12 u_{n} - 18$ .
Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine au bout de combien d'années la population de loups aura doublé.
$N \leftarrow 0$
$U \leftarrow 300$
Tant que $U < 600$ faire
$U \leftarrow 1,12 \times U - 18$
$N \leftarrow N + 1$
Fin Tant que
On définit la suite $(v_{n})$ par : $v_{n} = u_{n} - 150$ pour tout $n \in ℕ$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,12. Préciser son terme initial.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 150 \\ = & 1,12 u_{n} - 18 - 150 \\ = & 1,12 u_{n} - 168 \\ = & 1,12 \times (u_{n} - 150) \\ = & 1,12 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,12 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,12 et dont le premier terme $v_{0} = 300 - 150 = 150$ .
2. Exprimer, pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n}$ en fonction de n.
  En déduire $u_{n}$ en fonction de n.
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,12 et de premier terme $v_{0} = 150$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 150 \times {1,12}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 150 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 150$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 150 \times {1,12}^{n} + 150$ .
3. Quelle est la limite de la suite $(u_{n})$ ? Justifier. Que peut-on en déduire ?
  $1,12 > 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {1,12}^{n} = + \infty$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 150 \times {1,12}^{n} + 150 = + \infty$ .
  Ainsi, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ . Selon ce modèle, la population de loups de ce pays va croître indéfiniment.
1. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation : $150 + {1,12}^{n} \times 150 > 600$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 150 \times {1,12}^{n} + 150 > 600 & \Leftrightarrow & 150 \times {1,12}^{n} > 450 \\ \Leftrightarrow & {1,12}^{n} > 3 \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,12}^{n}) > \ln 3 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,12 > \ln 3 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 3}{\ln 1,12} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 3}{\ln 1,12} \approx 9,7$ alors, alors, l'ensemble des solutions de l'inéquation $u_{n} > 600$ sont les entiers naturels n de l'intervalle $[10; + \infty [$ .
2. Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'énoncé.
  C'est à partir de 2027 que la population de loups aura doublé.
En 2023. avec ce modèle, la population de loups est estimée à 446 loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle décision sera prise par le gouvernement: afin de gérer le nombre de loups dans le pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de 35 loups par an.
En quelle année la population de loups dépassera-t-elle 600 loups ?
On modélise l'évolution de la population de loups par la suite $(w_{n})$ définie par $w_{0} = 446$ et, pour tout entier n, $w_{n + 1} = 1,12 w_{n} - 35$ où le terme $w_{n}$ représente le nombre de loups de ce pays en $2023 + n$ .
- méthode 1 :
  On calcule les termes successifs de la suite $(w_{n})$
  Valeurs de n 0 1 2 3 4 5 6 7
  Valeurs de $w_{n}$
  (arrondies à l'unité) 446 465 485 508 535 564 596 633
  Condition $w_{n} > 600$ Faux Faux Faux Faux Faux Faux Faux VRAI
- méthode 2 :
  On programme sur la calculatrice l'algorithme précédent ainsi modifié :
  $N \leftarrow 0$
  $U \leftarrow 446$
  Tant que $U < 600$ faire
  $U \leftarrow 1,12 \times U - 35$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
Selon ce deuxième modèle, c'est en 2030 que la population de loups dépassera 600 loups.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.

Valeurs de n	0	1	2	3	4	5	6	7
Valeurs de $w_{n}$ (arrondies à l'unité)	446	465	485	508	535	564	596	633
Condition $w_{n} > 600$	Faux	Faux	Faux	Faux	Faux	Faux	Faux	VRAI