Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à vélo.
Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.
Elle se rend compte que :
Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :
On note, pour tout entier naturel n non nul :
Traduire les données par un graphe probabiliste.
Notons et les états probabilistes du n-ième jour :
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
En déduire la matrice de transition M.
La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, est : .
Donner les valeurs de et correspondant à l'état initial.
Le premier jour, Lisa se rend au travail à vélo d'où et .
Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8e jour.
La matrice ligne de l'état probabiliste initial est .
La matrice traduisant l'état probabiliste du 8e jour est soit :
La probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8e jour 0,63.
Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état converge vers un état stable avec et vérifiant :
D'où a et b vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que a et b sont solutions du système :
L'état stable du système est . À partir d'un certain temps, chaque jour, la probabilité que Lisa prenne le vélo est proche de 0,625.
Montrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul : .
Pour tout entier naturel n non nul :
Ainsi, pour tout nombre entier naturel n non nul : .
En déduire que pour tout entier naturel non nul n : .
Pour tout entier naturel n non nul, avec d'où
Pour tout entier naturel n non nul, on a .
Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier n tel que .
Tant que faire
Fin Tant que
Quelle est la valeur de N après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.
méthode 1
On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.
méthode 2
On calcule les termes de la suite définie par et, pour tout entier n non nul,
Valeur de a | 1 | 0,7 | 0,64 | 0,628 | 0,6256 |
Valeur de n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Condition | vrai | vrai | vrai | vrai | FAUX |
méthode 3
À l'aide de la calculatrice, on calcule et
La valeur de N après exécution de l'algorithme est . La probabilité que Lisa se rende au travail à vélo est inférieure à 0,626 au bout du cinquième jour.
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