Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Asie 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à vélo.
Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.

Elle se rend compte que :

  • si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de 0,7 ;
  • si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de 0,5.

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :

  • A est l'évènement « Lisa prend le vélo » ;
  • B est l'évènement « Lisa prend la voiture ».

On note, pour tout entier naturel n non nul :

  • an la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour n ;
  • bn la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour n.
    1. Traduire les données par un graphe probabiliste.

      Notons An et Bn les états probabilistes du n-ième jour :

      • Si Lisa a pris son vélo un jour, elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de 0,7 d'où pAn(An+1)=0,7 et pAn(Bn+1)=1-0,7=0,3.
      • Si Lisa a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de 0,5 d'où pBn(Bn+1)=0,5 et pBn(An+1)=1-0,5=0,5.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

      Graphe probabiliste : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. En déduire la matrice de transition M.

      La matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M est : M=(0,70,30,50,5).


    1. Donner les valeurs de a1 et b1 correspondant à l'état initial.

      Le premier jour, Lisa se rend au travail à vélo d'où a1=1 et b1=0.


    2. Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8e jour.

      La matrice ligne de l'état probabiliste initial est P1=(10).

      La matrice traduisant l'état probabiliste du 8e jour est P8=P1×M7 soit : P8=(10)×(0,70,30,50,5)7(0,6250,375)

      La probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8e jour 0,63.


  1. Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.

    Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état Pn converge vers un état stable P=(ab) avec a+b=1 et vérifiant : (ab)=(ab)×(0,70,30,50,5)(ab)=(0,7a+0,5b0,3a+0,5b)soit{a=0,7a+0,5bb=0,3a+0,5b{0,3a-0,5b=0-0,3a+0,5b=0

    D'où a et b vérifient la relation 0,3a-0,5b=0. Comme d'autre part, a+b=1 on en déduit que a et b sont solutions du système :{0,3a-0,5b=0a+b=1{0,8a=0,5a+b=1{a=0,625b=0,375

    L'état stable du système est P=(0,6250,375). À partir d'un certain temps, chaque jour, la probabilité que Lisa prenne le vélo est proche de 0,625.


    1. Montrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul : an+1=0,7an+0,5bn.

      Pour tout entier naturel n non nul : (an+1bn+1)=(anbn)×(0,70,30,50,5)(an+1bn+1)=(an×0,7+bn×0,5an×0,3+bn×0,5)

      Ainsi, pour tout nombre entier naturel n non nul : an+1=0,7an+0,5bn.


    2. En déduire que pour tout entier naturel non nul n : an+1=0,2an+0,5.

      Pour tout entier naturel n non nul, an+1=0,7an+0,5bn avec an+bn=1 d'où an+1=0,7an+0,5×(1-an)=0,7an+0,5-0,5an=0,2an+0,5

      Pour tout entier naturel n non nul, on a an+1=0,2an+0,5.


    1. Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier n tel que an<0,626.

      N1
      A1

      Tant que A0,626 faire
      A0,2×A+0,5
      NN+1
      Fin Tant que

    2. Quelle est la valeur de N après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce résultat.

      • méthode 1

        On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.

      • méthode 2

        On calcule les termes de la suite (an) définie par a1=1 et, pour tout entier n non nul, an+1=0,2an+0,5

        Valeur de a10,70,640,6280,6256
        Valeur de n12345
        Condition a0,626 vraivraivraivraiFAUX
      • méthode 3

        À l'aide de la calculatrice, on calcule P4=(10)×(0,70,30,50,5)3=(0,6280,372) et P5=(10)×(0,70,30,50,5)4=(0,62560,3744)

      La valeur de N après exécution de l'algorithme est N=5. La probabilité que Lisa se rende au travail à vélo est inférieure à 0,626 au bout du cinquième jour.



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