Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.
En journée, la masse d'algues augmente de 2 %, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d'algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.
Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du système de filtration est de 2000 kg.
On modélise par $a_{n}$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant n jours ; ainsi, $a_{0} = 2000$ . On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_{n}$ reste positif.

Vérifier par le calcul que la masse $a_{2}$ d'algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1878,8 kg.
$\begin{array}{l} a_{1} = 1,02 \times 2000 - 100 = 1940 \\ a_{2} = 1,02 \times 1940 - 100 = 1878,8 \end{array}$
Ainsi, la masse d'algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1878,8 kg.
On affirme que pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 1,02 a_{n} - 100$ .
1. Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.
  Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 2 % est : $1 + \frac{2}{100} = 1,02$ . Soit $a_{n}$ la masse d'algues dans l'étang au bout de n jours, le lendemain, la masse d'algues dans l'étang après utilisation du système de filtration s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $a_{n} \overset{\times 1,02 ( augmentation de 2 % )}{\to} 1,02 a_{n} \overset{- 100 ( filtration )}{\to} \underset{a_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,02 a_{n} - 100}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $a_{n + 1} = 1,02 a_{n} - 100$ .
2. On considère la suite $(b_{n})$ définie pour tout nombre entier naturel n par : $b_{n} = a_{n} - 5000$ . Démontrer que la suite $(b_{n})$ est géométrique. Préciser son premier terme $b_{0}$ et sa raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} b_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 5000 \\ = & 1,02 a_{n} - 100 - 5000 \\ = & 1,02 a_{n} - 5100 \\ = & 1,02 \times (a_{n} - 5000) \\ = & 1,02 b_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $b_{n + 1} = 1,02 b_{n}$ donc $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,02 et dont le premier terme $b_{0} = 2000 - 5000 = - 3000$ .
3. En déduire pour tout entier naturel n, une expression de $b_{n}$ en fonction de n, puis montrer que $a_{n} = 5000 - 3000 \times {1,02}^{n}$ .
  $(b_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $b_{0} = - 3000$ donc pour tout entier naturel n, on a : $b_{n} = - 3000 \times {1,02}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $b_{n} = a_{n} - 5000 \Leftrightarrow a_{n} = b_{n} + 5000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $a_{n} = 5000 - 3000 \times {1,02}^{n}$ .
4. En déterminant la limite de la suite $(a_{n})$ , justifier que les algues finissent par disparaître.
  $1,02 > 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {1,02}^{n} = + \infty$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} - 3000 \times {1,02}^{n} = - \infty$ et $\lim_{n \to + \infty} 5000 - 3000 \times {1,02}^{n} = - \infty$ .
  Soit $\lim_{n \to + \infty} a_{n} = - \infty$ . Ce qui signifie, qu'à partir d'un certain nombre de jours, $a_{n} < 0$ . Par conséquent, les algues finiront par disparaître.
1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.
  $N \leftarrow 0$
  $A \leftarrow 2000$
  Tant que $A > 0$
  $A \leftarrow 1,02 \times A - 100$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
  Afficher N
2. Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?
  En programmant l'algorithme sur la calculatrice, on obtient $N = 26$ .
1. Résoudre par le calcul l'inéquation $5000 - 3000 \times {1,02}^{n} < 0$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 5000 - 3000 \times {1,02}^{n} < 0 & \Leftrightarrow & - 3000 \times {1,02}^{n} < - 5000 \\ \Leftrightarrow & {1,02}^{n} > \frac{5}{3} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,02}^{n}) > \ln \frac{5}{3} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,02 > \ln \frac{5}{3} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{5}{3}}{\ln 1,02} \end{array}$
  Comme $\frac{\ln \frac{5}{3}}{\ln 1,02} \approx 25,8$ alors, l'ensemble des solutions de l'inéquation $a_{n} < 0$ sont les entiers naturels n de l'intervalle $[26; + \infty [$ .
2. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?
  C'est au bout de 26 jours, que les algues finissent par disparaître.

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