sujet : Centres Étrangers 2018

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40 % des guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu'en extérieur.

1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

   • On note A l'évènement « la guirlande provient du fournisseur A » et B l'évènement « la guirlande provient du fournisseur B ».
   • On note I l'évènement « la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur ».

   1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

   2. Montrer que la probabilité $P\left(I\right)$ de l'évènement I est 0,3.

      D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
      Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
      Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(I\right)=P\left(A\cap I\right)+P\left(B\cap I\right)$$

      Or $$\begin{array}{llll}& P\left(A\cap I\right)=P_A\left(I\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap I\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,25}=\mathrm{0,2}\\ \text{et}& P\left(B\cap I\right)=P_B\left(I\right)\times P\left(B\right)& \text{soit}& P\left(B\cap I\right)=\mathrm{0,6}\times {\displaystyle \frac{1}{3}}=\mathrm{0,2}\end{array}$$

      On obtient alors $$P\left(I\right)=\mathrm{0,1}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,3}$$

      La probabilité que la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur est égale à 0,3.

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   3. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
      Le responsable a-t-il raison ? Justifier.

      La probabilité conditionnele qu'une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur provienne du fournisseur A est $$P_{\overline{I}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{P\left(A\cap \overline{I}\right)}{P\left(\overline{I}\right)}}$$

      Avec $$\begin{array}{llcl}& P\left(\overline{I}\right)=1-P\left(I\right)& \text{soit}& P\left(\overline{I}\right)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}\\ \text{et}& P\left(A\cap \overline{I}\right)=P_A\left(\overline{I}\right)\times P\left(A\right)& \text{soit}& P\left(A\cap \overline{I}\right)=\mathrm{0,75}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,3}\end{array}$$

      D'où $$P_{\overline{I}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,7}}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$$

      D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{P}_{\overline{I}}\left(B\right)=1-P_{\overline{I}}\left(A\right)& \text{soit}& P_{\overline{I}}\left(B\right)=1-{\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{4}{7}}\end{array}$$

      Ainsi, $P_{\overline{I}}\left(A\right)={\displaystyle \frac{3}{7}}$ et $P_{\overline{I}}\left(B\right)={\displaystyle \frac{4}{7}}$ par conséquent, le responsable a tort. Il y a moins de chance qu'une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur provienne du fournisseur A que du fournisseur B.

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2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est vendue 5 € et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est vendue 3 €.
   Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.

   Soit V la variable aléatoire qui à chaque guirlande prise au hasard, associe son prix de vente.
   La loi de probabilité de V est :

   Prix de vente $x_i$	3	5
   $P\left(V=x_i\right)$	0,3	0,7

   L'espérance mathématique de la variable aléatoire V est :$$E\left(V\right)=3\times \mathrm{0,3}+5\times \mathrm{0,7}=\mathrm{4,4}$$

   Le prix de vente moyen d'une guirlande est égal à 4,40 €.

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3. Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard 50 guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à 0,02.
   Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à ${10}^{-3}$.

   Soit X la variable aléatoire associée au nombre de de guirlandes défectueuses. Le prélèvement de 50 guirlandes dans le stock est assimilé à un tirage aléatoire avec remise donc X suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=\mathrm{0,02}$.

   $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)& \text{soit}& P\left(X⩾1\right)=1-{\left(1-\mathrm{0,02}\right)}^{50}\approx \mathrm{0,636}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse est 0,636.

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4. L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 8 %.
   Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?

   Soit n la taille de l'échantillon. Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 % de la proportion de clients satisfaits est $$I=\left[f-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}};f+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}\right]$$ où f est la fréquence observée de clients satisfaits dans un échantillon de taille n.

   L'amplitude de l'intervalle de confiance est ${\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}$. Par conséquent, n est solution de l'inéquation :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{n}}}⩽\mathrm{0,08}& \iff & \sqrt{n}⩾{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{0,04}}}\\ & \iff & n⩾625\end{array}$$

   Pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 0,08, l'entreprise doit interroger au moins 625 clients.

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