sujet : Centres Étrangers 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On considère la fonction dérivable f définie sur $I=\left[0;20\right]$ par :$$f\left(x\right)=1000\left(x+5\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$$

partie a - Étude graphique

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la fonction f.
Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.

1. Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f\left(x\right)=3000$.

   Avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée de la solution de l'équation $f\left(x\right)=3000$ est $x\approx 7$.

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2. Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de f entre 2 et 8 à une unité d'aire près. Justifier la démarche.

   remarque

   Le graphique ne permet pas de déterminer une valeur approchée de l'intégrale de f entre 2 et 8 à une unité d'aire près !

   Sur l'intervalle $\left[2;8\right]$, la fonction f est positive par conséquent, l'intégrale de f entre 2 et 8 est égale à l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine hachuré compris entre la courbe représentative de la fonction f, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$ et $x=8$.

   Or l'aire de ce domaine semble très légèrement supérieure à l'aire du trapèze représenté sur la figure d'où $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx {\displaystyle \frac{\left(4700+2600\right)\times \left(8-2\right)}{2}}& \text{soit}& {\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx 21900\end{array}$$

   Avec la précision permise par le graphique, une valeur approchée de l'intégrale de f entre 2 et 8 est d'environ 21900 unités d'aire.

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partie b - Étude théorique

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f sur $\left[0;20\right]$.
   Démontrer que pour tout x de $\left[0;20\right]$, $f\prime \left(x\right)=-200x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

   La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.

   $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;20\right]$ : $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=1000\left(x+5\right)& \text{;}& u\prime \left(x\right)=1000\\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}& \text{;}& v\prime \left(x\right)=-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$

   Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $\left[0;20\right]$: $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 1000\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}+1000\times \left(x+5\right)\times \left(-\mathrm{0,2}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\right)\\ & =& 1000\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}-\left(200x+1000\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\\ & =& \left(1000-200x-1000\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\\ & =& -200x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par $f\prime \left(x\right)=-200x{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$.

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2. En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau des variations sur l'intervalle $\left[0;20\right]$. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans le tableau.

   Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}>0$ et, sur l'intervalle $\left[0;20\right]$, $-200x<0$. Par produit, on en déduit que sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ on a $f\prime \left(x\right)<0$ donc

   la fonction f est strictement décroissante.

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   Tableau de variation de la fonction f :

   x	0		20
   $f\prime \left(x\right)$	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	5000		${\displaystyle \frac{25000}{{\mathrm{e}}^4}}\approx 458$

3. Démontrer que l'équation $f\left(x\right)=3000$ admet une unique solution α sur $\left[0;20\right]$, puis donner une valeur approchée de α à ${10}^{-2}$ près à l'aide de la calculatrice.

   Sur l'intervalle $\left[0;20\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(20\right)<3000<f\left(0\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=3000$ admet une unique solution $\alpha \in \left[0;20\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{6,88}$.

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4. On admet que la fonction F définie sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par l'expression $F\left(x\right)=-5000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de la fonction f sur $\left[0;20\right]$.
   Calculer ${\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à l'unité.

   La fonction F définie par $F\left(x\right)=-5000\left(x+10\right){\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,2}x}$ est une primitive de la fonction f d'où :$$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(8\right)-F\left(2\right)\\ & =& -5000\times 18\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}+5000\times 12\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}\\ & =& -90000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}+60000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,2}}\end{array}$$

   ${\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=60000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}-90000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}\approx 22049$.

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partie c - Application économique

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $\left[0;20\right]$ par la fonction f étudiée dans les parties A et B.
Le nombre $f\left(x\right)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est égal à x euros.
Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes :

1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle supérieure à 3000 objets ?

   La fonction f est strictement décroissante et $f\left(\alpha \right)=3000$ donc pour tout réel $x⩽\alpha$ on a $f\left(\alpha \right)⩾3000$. Comme la valeur approche par défaut de α est $\alpha \approx \mathrm{6,88}$, on en déduit que :

   la demande est supérieure à 3000 objets pour un prix unitaire inférieur à 6,88 €.

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2. Déterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;8\right]$. Interpréter ce résultat.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[2;8\right]$ est :$${\displaystyle \frac{1}{8-2}}\times {\displaystyle {\int }_2^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=10000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,4}}-15000{\mathrm{e}}^{-\mathrm{1,6}}\approx 3675$$

   Pour des prix de vente allant de 2 € à 8 €, la demande est en moyenne de 3675 objets.

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