Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Centres Étrangers 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité ES

Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en l'absence de maintenance.
Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants :

fonctionnel (F) ;
en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse ;
défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.

La société a observé que d'un jour sur l'autre :

concernant les automates fonctionnels, 90 % le restent et 10 % deviennent en sursis ;
concernant les automates en sursis, 80 % le restent et 20 % deviennent défaillants.

1. Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les évolutions possibles de l'état d'un automate.
2. Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.
  D'un jour sur l'autre, quand un automate ne fonctionne plus, il reste défaillant.
3. Voici la matrice de transition $M = (\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D. Préciser la signification du coefficient 0,2 dans cette matrice.
  D'un jour sur l'autre, la probabilité qu'un automate en sursis devienne défaillant est égale à 0,2.
À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel n :
- $f_{n}$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle n-ième jour ;
- $s_{n}$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le n-ième jour ;
- $d_{n}$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le n-ième jour.
On note alors $P_{n} = (\begin{matrix} f_{n} & s_{n} & d_{n} \end{matrix})$ la matrice ligne de l'état probabiliste le n-ième jour.
Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels : on a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ .
1. Calculer $P_{1}$ .
  $P_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \times (\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 & 0 \end{matrix})$
  $P_{1} = (\begin{matrix} 0,9 & 0,1 & 0 \end{matrix})$ .
2. Montrer que, le 3^e jour, l'état probabiliste est $(\begin{matrix} 0,729 & 0,217 & 0,054 \end{matrix})$ .
  $P_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})}^{3} = (\begin{matrix} 0,729 & 0,217 & 0,054 \end{matrix})$
  $P_{3} = (\begin{matrix} 0,729 & 0,217 & 0,054 \end{matrix})$ .
3. Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ .
  Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
  $P = (\begin{matrix} x & y & z \end{matrix})$ est un état stable du système si, et seulement si, $(\begin{matrix} x & y & z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y & z \end{matrix}) \times (\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})$ avec $x + y + z = 1$ . Soit x, y et z solutions du système : $\begin{matrix} {\begin{cases} x = 0,9 x \\ y = 0,1 x + 0,8 y \\ z = 0,2 y + z \\ x + y + z = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} 0,1 x = 0 \\ - 0,1 x + 0,2 y = 0 \\ - 0,2 y = 0 \\ x + y + z = 1 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x = 0 \\ y = 0 \\ z = 1 \end{matrix} \end{matrix}$
  Ainsi, $P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ est l'unique état stable du système. À partir d'un certain nombre de jours, en l'absence de maintenance, tous les automates seront défaillants.
1. Justifier que pour tout entier naturel n, $s_{n + 1} = 0,1 f_{n} + 0,8 s_{n}$ .
  M est la matrice de transition donc pour tout entier naturel n, $\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} \times M & soit & (\begin{matrix} f_{n + 1} & s_{n + 1} & d_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{n} & s_{n} & d_{n} \end{matrix}) \times (\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \\ \Leftrightarrow & (\begin{matrix} f_{n + 1} & s_{n + 1} & d_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,9 f_{n} & 0,1 f_{n} + 0,8 s_{n} & 0,2 s_{n} + d_{n} \end{matrix}) \end{matrix}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $s_{n + 1} = 0,1 f_{n} + 0,8 s_{n}$ .
2. On vérifierait de même que pour tout entier naturel n, $d_{n + 1} = 0,2 s_{n} + d_{n}$ et $f_{n + 1} = 0,9 f_{n}$ .
  Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au bout duquel 30 % des automates ne fonctionnent plus.
  $D \leftarrow 0$
  $S \leftarrow 0$
  $F \leftarrow 1$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que $D < 0,3$
  $D \leftarrow 0,2 \times S + D$
  $S \leftarrow 0,1 \times F + 0,8 \times S$
  $F \leftarrow 0,9 \times F$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
  Afficher N
3. Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle supérieure à 30 % ?
  - méthode 1
    On programme l'algorithme sur la calculatrice pour obtenir la réponse.
  - méthode 2
    À l'aide de la calculatrice, on calcule les différents états probabilistes $P_{n}$ jusqu'à l'obtention de la valeur $d_{n} ⩾ 0,3$ : $\begin{array}{ll} P_{7} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})}^{7} \approx (\begin{matrix} 0,478 & 0,269 & 0,253 \end{matrix}) \\ et & P_{8} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{array}{lll} 0,9 & 0,1 & 0 \\ 0 & 0,8 & 0,2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})}^{8} \approx (\begin{matrix} 0,430 & 0,263 & 0,307 \end{matrix}) \end{array}$
  La proportion d'automates défaillants devient supérieure à 30 % à partir du huitième jour.
4. Dans le codage de la boucle « Tant que », l'ordre d'affectation des variables D, S et F est-il important ? Justifier.
  À chaque passage la boucle « Tant que » les valeurs affectées aux variables D, S et F sont respectivement les termes $d_{n + 1} = 0,2 s_{n} + d_{n}$ , $s_{n + 1} = 0,1 f_{n} + 0,8 s_{n}$ et $f_{n + 1} = 0,9 f_{n}$ .
  Si on ne respecte pas cet ordre, par exemple en permuttant les lignes d’affectation de S et D alors la valeur de S utilisée pour calculer la nouvelle valeur de D serait celle de $s_{n + 1} = 0,1 f_{n} + 0,8 s_{n}$ et non celle de $s_{n}$ . Il est donc important de conserver l'ordre d'affectation des variables D, S et F.

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