sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. Déterminer, en justifiant :

   1. $p\left(X=10\right)$

      La variable aléatoire X suit une loi de probabilité continue donc $p\left(X=10\right)=0$

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   2. $p\left(X⩾45\right)$

      La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =45$ donc $p\left(X⩾45\right)=\mathrm{0,5}$

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   3. $p\left(21⩽X⩽69\right)$

      La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance $\mu =45$ et d'écart-type $\sigma =12$ donc $$p\left(45-2\times 12⩽X⩽45+2\times 12\right)\approx \mathrm{0,954}$$

      Ainsi, $p\left(21⩽X⩽69\right)\approx \mathrm{0,954}$.

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   4. $p\left(21⩽X⩽45\right)$

      Par symétrie de la courbe par rapport à $\mu =45$ : $$p\left(21⩽X⩽45\right)={\displaystyle \frac{p\left(21⩽X⩽69\right)}{2}}\approx \mathrm{0,477}$$

      Ainsi, $p\left(21⩽X⩽45\right)\approx \mathrm{0,477}$.

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2. Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché.

   Avec la calculatrice, on trouve $p\left(30⩽X⩽60\right)\approx \mathrm{0,789}$.

   La probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché est 0,789.

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3. Déterminer la valeur de a, arrondie à l'unité, telle que $p\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,30}$. Interpréter la valeur de a dans le contexte de l'énoncé.

   Avec la calculatrice, on trouve $p\left(X⩽a\right)=\mathrm{0,30}$ pour $a\approx 39$. La probabilité qu'un client passe moins de 39 minutes dans ce supermarché est égale à 0,3.

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partie b

En 2013, une étude a montré que 89 % des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

1. Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.

   On a $n=300$, $n\times p=300\times \mathrm{0,89}=267$ et $n\times \left(1-p\right)=300\times \mathrm{0,11}=33$.
   Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

   L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion des clients satisfaits des produits de ce supermarché dans des échantillons de taille $n=300$ est : $$I=\left[\mathrm{0,89}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,89}\times \mathrm{0,11}}{300}}};\mathrm{0,89}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,89}\times \mathrm{0,11}}{300}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,854};\mathrm{0,926}\right]$$

   Un intervalle de fluctuation au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013 est $I=\left[\mathrm{0,854};\mathrm{0,926}\right]$.

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Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 280 ont déclaré être satisfaits.

2. Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018.

   La fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018 est $f={\displaystyle \frac{280}{300}}={\displaystyle \frac{14}{15}}\approx \mathrm{0,933}$.

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3. Peut-on affirmer, au seuil de 95 %, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018 ? Justifier.

   La fréquence $f={\displaystyle \frac{14}{15}}$ n'appartient pas à l'intervalle $I=\left[\mathrm{0,854};\mathrm{0,926}\right]$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % par conséquent, on ne peut pas affirmer, au risque d'erreur de 5 %, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018.

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