sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2018

correction de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

1. La probabilité $p_{\overline{F}}\left(S\right)$ est la probabilité que l'élève soit :

   1. inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon ;

   2. un garçon inscrit dans un club de sport ;

   3. inscrit dans un club de sport ou un garçon ;

   4. un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.

2. On admet que $p\left(F\right)=\mathrm{0,47}$. La valeur arrondie de $p_F\left(S\right)$ est :

   $$p_F\left(S\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap S\right)}{p\left(F\right)}}$$

   Or $$\begin{array}{ccc}p\left(F\cap S\right)=p_S\left(F\right)\times p\left(S\right)& \text{soit}& P\left(F\cap S\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,12}\end{array}$$

   Ainsi, $$p_F\left(S\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,47}}}\approx \mathrm{0,255}$$

   a.   0,141

   b.   0,255

   c.   0,400

   d.   0,638

partie b

Soit g la fonction définie sur $\left[-1;4\right]$ par $g\left(x\right)=-x^3+3x^2-1$ et ${𝒞}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

1. La tangente à la courbe ${𝒞}_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation :

   La dérivée de la fonction g est la fonction $g\prime$ définie sur l'intervalle $\left[-1;4\right]$ par $g\prime \left(x\right)=-3x^2+6x$.

   Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d'abscisse 1 est :$$\begin{array}{ccccc}y=g\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+g\left(1\right)& \text{soit}& y=3\times \left(x-1\right)+1& \iff & y=3x-2\end{array}$$

   a.   $y=-3x^2+6x$

   b.   $y=3x-2$

   c.   $y=3x-3$

   d.   $y=2x-1$

2. La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[-1;a\right]$ est nulle pour :

   La valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[-1;a\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}m={\displaystyle \frac{1}{a-\left(-1\right)}}\times {\displaystyle {\int }_1^a}\left(-x^3+3x^2-1\right)\mathrm{d}x& =& {\displaystyle \frac{1}{a+1}}\times {\left[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-x\right]}_1^a\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{a+1}}\times \left[\left(-{\displaystyle \frac{a^4}{4}}+a^3-a\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1-1\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{a+1}}\times \left(-{\displaystyle \frac{a^4}{4}}+a^3-a+{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\end{array}$$

   Ainsi, la valeur moyenne de la fonction g sur l'intervalle $\left[-1;a\right]$ est $m={\displaystyle \frac{-a^4+4a^3-4a+1}{4\left(a+1\right)}}$. On vérifie que si $a=1$ alors, $m=0$.

   a.   $a=0$

   b.   $a=1$

   c.   $a=2$

   d.   $a=3$

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