Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2018

Corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10 m.
On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.
Le 1^er janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de 6,05 m.

Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante :

d'abord une augmentation de 6 % (apport de la rivière) ;
ensuite une baisse de 10 cm (écoulement à travers le barrage).

On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ , le terme $u_{n}$ représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, n jours après le 1^er janvier 2018.
Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1^er janvier 2018 est donné par $u_{0} = 605$ .
1. Calculer le niveau du lac, en cm le 2 janvier 2018 à midi.
  Le niveau d'eau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi est donné par $u_{1}$ : $u_{1} = 605 \times (1 + \frac{6}{100}) - 15 = 626,3$
  Le 2 janvier 2018 à midi le niveau d'eau du lac est de 626,3 cm.
2. Montrer que, pour tout $n \in ℕ$ , $u_{n + 1} = 1,06 u_{n} - 15$ .
  Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 6 % est égal à 1,06. $u_{n}$ représentant le niveau d'eau du lac à midi n jours après le 1^er janvier 2018, le lendemain, le niveau d'eau du lac à midi s'obtient à l'aide du montage suivant :
  $u_{n} \overset{\times 1,06 ( apport de la rivière )}{\to} 1,06 u_{n} \overset{- 15 ( écoulement à travers le barrage )}{\to} \underset{u_{n + 1}}{\underset{⏟}{1,06 u_{n} - 15}}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $u_{n + 1} = 1,06 u_{n} - 15$ .
On pose, pour tout $n \in ℕ$ , $v_{n} = u_{n} - 250$ .
1. Montrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 1,06. Préciser son terme initial.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 250 \\ = & 1,06 u_{n} - 15 - 250 \\ = & 1,06 u_{n} - 265 \\ = & 1,06 \times (u_{n} - 250) \\ = & 1,06 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 1,06 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,06 et dont le premier terme $v_{0} = 605 - 250 = 355$ .
2. Montrer que, pour tout $n \in ℕ$ , $u_{n} = 355 \times {1,06}^{n} + 250$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 1,06 et de premier terme $v_{0} = 355$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 355 \times {1,06}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 250 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 250$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 355 \times {1,06}^{n} + 250$ .
Lorsque le niveau du lac dépasse 10 m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.
1. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
  $1,06 > 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {1,06}^{n} = + \infty$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 355 \times {1,06}^{n} + 250 = + \infty$ .
  Ainsi, $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .
2. L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau ? Justifier la réponse.
  Dire que la limite de la suite $(u_{n})$ est $+ \infty$ quand n tend vers $+ \infty$ signifie que pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d'un certain rang N.
  Comme $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ , il existe un entier N tel que pour tout entier naturel $n ⩾ N$ on a $u_{n} > 1000$ . Par conséquent, au bout d'un certain nombre de jours, l'équipe d'entretien devra ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau.
Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.
1. Recopier et compléter l'algorithme.
  $10 m = 1000 cm$
  $N \leftarrow 0$
  $U \leftarrow 605$
  Tant que $U ⩽ 1000$ faire
  $U \leftarrow 1,06 \times U - 15$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable N ?
  - méthode 1 :
    On programme l'algorithme sur la calculatrice et on obtient $N = 13$
  - méthode 2 :
    On cherche le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 1000$ .
    Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 355 \times {1,06}^{n} + 250 > 1000 & \Leftrightarrow & {1,06}^{n} > 750 \\ \Leftrightarrow & {1,06}^{n} > \frac{750}{355} \\ \Leftrightarrow & \ln ({1,06}^{n}) > \ln \frac{150}{71} & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 1,06 > \ln \frac{150}{71} & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln \frac{150}{71}}{\ln 1,06} \end{array}$
    Comme $\frac{\ln \frac{150}{71}}{\ln 1,06} \approx 12,8$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} > 1000$ est $n = 13$ .
  À la fin de l'exécution de l'algorithme, la valeur de la variable N est 13.
3. En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.
  Pour tout entier naturel $n ⩾ 13$ on a $u_{n} > 1000$ . Par conséquent, l'équipe d'entretien devra ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau le 14 janvier 2018.

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