Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : France Métropolitaine, La Réunion 2018

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

On désigne par f la fonction définie sur l'intervalle $[- 2; 4]$ par $f (x) = (2 x + 1) e^{- 2 x} + 3$ .
On note $𝒞_{f}$ la courbe représentative de f dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe 2.

On note $f'$ la fonction dérivée de f. Montrer que, pour tout $x \in [- 2; 4]$ , $f' (x) = - 4 x e^{- 2 x}$ .
$f = u v + 3$ d'où $f' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[- 2; 4]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = 2 x + 1 & ; & u' (x) = 2 \\ v (x) = e^{- 2 x} & ; & v' (x) = - 2 e^{- 2 x} \end{array}$
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $[- 2; 4]$ : $\begin{array}{rcl} f' (x) & = & 2 \times e^{- 2 x} + (2 x + 1) \times (- 2 e^{- 2 x}) \\ = & (2 - 2 \times (2 x + 1)) \times e^{- 2 x} \\ = & (2 - 4 x - 2) \times e^{- 2 x} \\ = & - 4 x e^{- 2 x} \end{array}$
Ainsi, $f'$ est la fonction définie sur l'intervalle $[- 2; 4]$ par $f' (x) = - 4 x e^{- 2 x}$ .

Étudier les variations de f.

Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

Pour tout réel x, $e^{- 2 x} > 0$ donc $f' (x)$ est du même signe que $(- 4 x)$ . Nous pouvons établir le tableau du signe de $f' (x)$ et des variations de f :

x	$- 2$		0		4
$f' (x)$		+	$0_{\|}^{\|}$	−
$f (x)$	$3 - 3 e^{4}$		4		$3 + 9 e^{- 8}$

Montrer que l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution sur $[- 2; 0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
- Sur l'intervalle $[- 2; 0]$ on a $f (- 2) = 3 - 3 e^{4} \approx - 160,8$ et $f (0) = 4$ .
  Sur l'intervalle $[- 2; 0]$ , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f (- 2) < 0 < f (4)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [- 2; 0]$ .
- Sur l'intervalle $[0; 4]$ la fonction f est strictement décroissante et $f (4) = 3 + 9 e^{- 8} \approx 3$ . Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $[0; 4]$ on a $f (x) ⩾ 3$ donc l'équation $f (x) = 0$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
L'équation $f (x) = 0$ admet une unique solution $α \in [- 2; 0]$ . À l'aide de la calculatrice, on trouve que $α \approx - 0,8$
On note $f ″$ la fonction dérivée de $f'$ . On admet que, pour tout $x \in [- 2; 4]$ , $f ″ (x) = (8 x - 4) e^{- 2 x}$ .
1. Étudier le signe de $f ″$ sur l'intervalle $[- 2; 4]$ .
  Pour tout réel x, $e^{- 2 x} > 0$ donc $f ″ (x)$ est du même signe que $(8 x - 4)$ . Or $\begin{array}{rcl} 8 x - 4 ⩽ 0 & \Leftrightarrow & x ⩽ \frac{1}{2} \end{array}$
  D'où le tableau du signe de $f ″$ sur l'intervalle $[- 2; 4]$ :
  x $- 2$ $\frac{1}{2}$ 4
  $f ″ (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
2. En déduire le plus grand intervalle sur lequel f est convexe.
  La dérivée seconde est positive sur l'intervalle $[\frac{1}{2}; 4]$ donc la fonction f est convexe sur l'intervalle $[\frac{1}{2}; 4]$ .
On note g la fonction définie sur l'intervalle $[- 2; 4]$ par $g (x) = (2 x + 1) e^{- 2 x}$ .
1. Vérifier que la fonction G définie pour tout $x \in [- 2; 4]$ par $G (x) = (- x - 1) e^{- 2 x}$ est une primitive de la fonction g.
  La fonction G est dérivable comme produit de deux fonctions dérivable.
  $G = u v$ d'où $G' = u' v + u v'$ avec pour tout réel x de l'intervalle $[- 2; 4]$ : ${\begin{array}{lcl} u (x) = - x - 1 & ; & u' (x) = - 1 \\ v (x) = e^{- 2 x} & ; & v' (x) = - 2 e^{- 2 x} \end{array}$
  Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle $[- 2; 4]$ : $\begin{array}{rcl} G' (x) & = & - e^{- 2 x} + (- x - 1) \times (- 2 e^{- 2 x}) \\ = & (- 1 - 2 \times (- x - 1)) \times e^{- 2 x} \\ = & (- 1 + 2 x + 2) \times e^{- 2 x} \\ = & (2 x + 1) \times e^{- 2 x} \end{array}$
  Pour tout réel x de l'intervalle $[- 2; 4]$ on $G' (x) = g (x)$ donc la fonction G définie pour tout $x \in [- 2; 4]$ par $G (x) = (- x - 1) e^{- 2 x}$ est une primitive de la fonction g.
2. En déduire une primitive F de f.
  $f (x) = g (x) + 3$ donc :
  une primitive de la f est la fonction F définie pour tout $x \in [- 2; 4]$ par $F (x) = (- x - 1) e^{- 2 x} + 3 x$ .
On note 𝒜 l'aire du domaine 𝒟 compris entre la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .
1. Hachurer le domaine 𝒟 sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
2. Par lecture graphique, donner un encadrement de 𝒜, en unité d'aire, par deux entiers consécutifs.
  L'aire du domaine 𝒟 est comprise entre l'aire de deux rectangles de même largeur 1 et de longueurs respectives 3 et 4 d'où $3 < 𝒜 < 4$ .
3. Calculer la valeur exacte de 𝒜, puis une valeur approchée au centième.
  D'après l'étude des variations, sur l'intervalle $[0; 1]$ , la fonction f est positive.
  Par conséquent, l'aire 𝒜, en unités d'aire, du domaine 𝒟 compris entre la courbe $𝒞_{f}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est égale à l'intégrale de la fonction f sur $[0; 1]$ : $\begin{array}{rcl} 𝒜 & = & \int_{0}^{1} f (x) d x \\ = & F (1) - F (0) \\ = & (3 - 2 e^{- 2}) - (- 1) \\ = & 4 - 2 e^{- 2} \end{array}$
  L'aire du domaine 𝒟 est $𝒜 = 4 - 2 e^{- 2} \approx 3,73$ unités d'aire.

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