sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.

1. Soit f la fonction définie et dérivable sur $\left]0;5\right]$ par $f\left(x\right)=x\ln x+1$. Pour tout $x\in \left]0;5\right]$,

   La fonction f est dérivable comme somme et produit de fonctions dérivables sur $\left]0;5\right]$. $f=uv+w$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime +w\prime$ avec pour tout réel $x\in \left]0;5\right]$ :$\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=x& ;& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=\ln x& ;& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\\ w\left(x\right)=1& ;& w\prime \left(x\right)=0\end{array}$.

   Soit pour tout réel $x\in \left]0;5\right]$ :$$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& 1\times \ln x+x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}+0\\ & =& \ln x+1\end{array}$$

   1. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$

   2. $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}+1$

   3. $f\prime \left(x\right)=\ln x+2$

   4. $f\prime \left(x\right)=\ln x+1$

2. On donne ci-dessous la courbe $𝒞$ représentant un fonction g sur $\left[0;2\right]$.

   Par lecture graphique :

   • La fonction g est décroissante, par conséquent, pour tout réel $x\in \left[0;2\right]$ on a $g\prime \left(x\right)⩽0$. Donc la proposition d est fausse.
   • Au point d'abscisse 0 , la courbe $𝒞$ est en dessous de sa tangente et au point d'abscisse 2 , la courbe $𝒞$ est en dessus de sa tangente. Par conséquent, sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ la fonction g change au moins une fois de convexité. Donc les propositions a et b sont fausses.

   La proposition c est la seule susceptible d'être exacte.

   1. g est concave sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

   2. $g″\left(x\right)⩾0$ pour tout $x\in \left[0;2\right]$.

   3. La courbe $𝒞$ admet un point d'inflexion sur $\left[0;2\right]$.

   4. $g\prime \left(1\right)>0$

3. Soit $I={\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}3{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x}$. On a :

   Une primitive de la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^x$ est la fonction F définie par $F\left(x\right)=3{\mathrm{e}}^x$. $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{\ln 2}3{\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x}& =& F\left(\ln 2\right)-F\left(0\right)\\ & =& 3{\mathrm{e}}^{\ln 2}-3{\mathrm{e}}^0\\ & =& 3\times 2-3\times 1\\ & =& 3\end{array}$$

   1. $I=3$

   2. $I=6$

   3. $I=-3$

   4. $I=3\ln 2$

4. Pour tout évènement E, on note $P\left(E\right)$ sa probabilité. Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,3}$.

   La variable aléatoire X suit loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,3}$ d'où :

   • $E\left(X\right)=10\times \mathrm{0,3}=3$
   • $P\left(X⩾1\right)=1-P\left(X=0\right)=1-{\mathrm{0,7}}^{10}\approx \mathrm{0,972}$
   • $P\left(X=3\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)\times {\mathrm{0,3}}^3\times {\mathrm{0,7}}^7=120\times {\mathrm{0,3}}^3\times {\mathrm{0,7}}^7$

   1. $P\left(X=3\right)=120\times {\mathrm{0,3}}^2\times {\mathrm{0,7}}^8$

   2. $P\left(X=3\right)=12\times {\mathrm{0,3}}^3\times {\mathrm{0,7}}^7$

   3. $P\left(X⩾1\right)\approx \mathrm{0,972}$

   4. L'espérance de X est 5,15.

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