sujet : Nouvelle Calédonie novembre 2018

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Dans un quartier d'une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d'emploi chaque trimestre.
Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, 123 nouveaux demandeurs d'emploi s'inscrivent tandis que 37,5 % des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes.
Au début du premier trimestre 2017 (1^er janvier 2017), le nombre de demandeurs d'emploi était de 490.
On note $u_n$ le nombre de demandeurs d'emploi au début du n-ième trimestre après le 1^er janvier 2017. Ainsi, $u_1=490$.
Dans tout l'exercice, les valeurs seront arrondies à l'unité.

1. Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017.

   $$\begin{array}{cl}& u_2=\left(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{37,5}}{100}}\right)\times 490+123=\mathrm{429,25}\\ \text{et}& u_3=\mathrm{0,625}\times \mathrm{429,25}+123=\mathrm{391,28125}\end{array}$$

   Selon ce modèle, le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017 étaient respectivement de 429 et 391.

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2. Justifier que l'on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ : $u_{n+1}=\mathrm{0,625}{u}_n+123$.

   Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 37,5 % est :$$1-{\displaystyle \frac{\mathrm{37,5}}{100}}=\mathrm{0,625}$$ Soit $u_n$ le nombre de demandeurs d'emploi au début du n-ième trimestre après le 1^er janvier 2017, le nombre de demandeurs d'emploi au début du trimestre suivant s'obtient à l'aide du montage :

   $$u_n\underset{\text{37,5 \% des chômeurs sont retirés des listes}}{\overset{\times \mathrm{0,625}}{\to }}\mathrm{0,625}{u}_n\underset{\text{123 nouvelles inscriptions}}{\overset{+123}{\to }}\underset{u_{n+1}}{\underbrace{\mathrm{0,625}{u}_n+123}}$$

   Ainsi, pour tout entier naturel n non nul, on a $u_{n+1}=\mathrm{0,625}{u}_n+123$.

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3. On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $v_n=u_n-328$.

   1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.

      Pour tout entier naturel n non nul, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-328\hfill \\ & =& \mathrm{0,625}{u}_n+123-328\hfill \\ & =& \mathrm{0,625}{u}_n-205\hfill \\ & =& \mathrm{0,625}\times \left(u_n-328\right)\hfill \\ & =& \mathrm{0,625}{v}_n\hfill \end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $v_{n+1}=\mathrm{0,625}\times v_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,625 et dont le premier terme $v_1=490-328=162$.

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   2. Exprimer, pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $v_n$ en fonction de n.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,625 et de premier terme $v_1=162$ donc pour tout entier naturel $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on a :$v_n=162\times {\mathrm{0,625}}^{n-1}$.

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   3. En déduire que, pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on a $u_n=162\times {\mathrm{0,625}}^{n-1}+328$.

      Comme pour tout entier naturel n non nul, $v_n=u_n-328\iff u_n=v_n+328$ on en déduit que :

      pour tout entier $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, on a $u_n=162\times {\mathrm{0,625}}^{n-1}+328$.

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4. Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019.

   $$u_{10}=162\times {\mathrm{0,625}}^9+328\approx \mathrm{330,4}$$

   Selon ce modèle, le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019 sera de 330.

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5. Le directeur de l'agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d'emploi de 30 % par rapport au premier trimestre 2017 ?
   Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse.

   $490\times \mathrm{0,7}=343$. D'après le resultat obtenu à la question pécédente, l'objectif du directeur de l'agence a été atteint.

   Déterminons la date à laquelle cet objectif sera atteint :

   $$\begin{array}{rcll}162\times {\mathrm{0,625}}^{n-1}+328⩽343& \iff & 162\times {\mathrm{0,625}}^{n-1}⩽15& \\ & \iff & {\mathrm{0,625}}^{n-1}⩽{\displaystyle \frac{15}{162}}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,625}}^{n-1}\right)⩽\ln {\displaystyle \frac{5}{54}}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & \left(n-1\right)\times \ln \mathrm{0,625}⩽\ln {\displaystyle \frac{5}{54}}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n-1⩾{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{54}}}{\ln \mathrm{0,625}}}& \ln \mathrm{0,625}<0\\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{54}}}{\ln \mathrm{0,625}}}+1& \end{array}$$

   Comme $1+{\displaystyle \frac{\ln {\displaystyle \frac{5}{54}}}{\ln \mathrm{0,625}}}\approx \mathrm{6,1}$ alors, le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_n⩽343$ est $n=7$.

   Le directeur de l'agence pourra atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d'emploi de 30 % par rapport au premier trimestre 2017 au début du troisième trimestre 2018.

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