L'entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production quotidienne varie entre 0 et 800 litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d'euros.
À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes.
Déterminer le coût de production de 200 litres de peinture.
Le coût de production de 200 litres de peinture est de 3000 euros.
Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de 5000 euros ?
Pour avoir une recette de 5000 euros il faut produire 500 litres de peinture.
À partir de combien de litres de peinture vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice quand la recette est supérieure au coût de production.
Avec la précision permise par le graphique, l'entreprise réalise un bénéfice pour une production supérieure à 320 litres.
L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de 3000 euros pour une production quotidienne variant entre 0 et 800 litres ? Justifier.
Soit D la droite représentative de la fonction définie sur l'intervalle par où est le montant en euros de la recette.
La courbe représentative de la fonction coût de production est au dessus de la droite D. Par conséquent, l'entreprise ne peut pas réaliser un bénéfice de plus de 3000 euros.
Le bénéfice en dizaine d'euros correspondant à la vente de x centaines de litres de peinture est donné par la fonction f définie sur l'intervalle par : .
Donner les valeurs exactes de et de , puis en donner les valeurs arrondies au centième.
et .
Montrer que la dérivée de la fonction f définie sur l'intervalle est : .
La fonction f est dérivable comme différence de fonctions dérivables sur . d'où avec pour tout réel :.
Soit pour tout réel :
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Déterminer le signe de et en déduire les variations de f sur l'intervalle .
Pour tout réel x, donc sur l'intervalle on a .
donc la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle .
Justifier que l'équation admet une unique solution α sur l'intervalle puis en donner la valeur arrondie au centième.
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une unique solution .
L'équation admet une unique solution . À l'aide de la calculatrice, on trouve que .
En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près.
La fonction est strictement croissante donc
L'entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice à partir de 324 litres de peinture produite et vendue.
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