sujet : Polynésie session septembre 2018

corrigé de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une justification est attendue.

Affirmation A

Un objet subit trois augmentations successives de 10 %. Une baisse de 25 % suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.

Soit $p_0$ le prix initial de cet objet. Après trois augmentations successives de 10 %, le prix de l'objet est :$$p_1=p_0\times {\mathrm{1,1}}^3=\mathrm{1,331}{p}_0$$

Le taux d'évolution t pour que le prix passe en dessous de son prix initial est solution de l'inéquation $$\begin{array}{rcl}\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)\times \mathrm{1,331}{p}_0<p_0& \iff & \left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)<{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,331}}}\\ & \iff & t<\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{1,331}}}-1\right)\times 100\approx -\mathrm{24,87}\end{array}$$

Ainsi, une baisse de 25 % suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial, l'affirmation A est vraie.

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Affirmation B

Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=\ln x-{\displaystyle \frac{1}{x}}+2$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La tangente à $𝒞$ au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées $\left(2;3\right)$.

Une équation de la tangente à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 1 est : $$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

• La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Donc $f\prime \left(1\right)=2$.
• $f\left(1\right)=1$.

La tangente à la courbe $𝒞$ au point d'abscisse 1 a pour équation :$$\begin{array}{rcl}y=2\left(x-1\right)+1& \iff & y=2x-1\end{array}$$

Le point de coordonnées $\left(2;3\right)$ appartient à la droite d'équation $y=2x-1$ donc l'affirmation B est vraie.

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Affirmation C

La valeur exacte de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme 4 et de raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est : $6\times \left[1-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{13}\right]$.

La somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme 4 et de raison ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ est : $$S=4\times {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{12}}{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}}}=6\times \left[1-{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^{12}\right]$$

L'affirmation C est fausse.

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Affirmation D

Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures.
On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left[9;11\right]$. La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est 0,425.

Soit L la variable aléatoire associée à l'heure de lever de Pierre :$$P\left(L>\mathrm{10,25}\right)={\displaystyle \frac{11-\mathrm{10,25}}{11-9}}=\mathrm{0,375}$$

La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est égale à 0,375 donc l'affirmation D est fausse.

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