sujet : Polynésie session septembre 2018

corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les candidats

Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.
Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à 0,001 près.

partie a

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

   • 10 % des recharges sont effectuées sur des bornes publiques d'où $P\left(U\right)=\mathrm{0,1}$ et $P\left(\overline{U}\right)=1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}$.
   • Les recharges « standard » représentent 25 % des recharges effectuées sur des bornes publiques d'où $P_U\left(S\right)=\mathrm{0,25}$ et $P_U\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,25}=\mathrm{0,75}$.
   • 95 % des recharges « standard » sont effectuées chez les particuliers d'où $P_{\overline{U}}\left(S\right)=\mathrm{0,95}$ et $P_{\overline{U}}\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,95}=\mathrm{0,05}$.

   L'arbre pondéré traduisant cette situation est :

2. Justifier que $P\left(S\right)=\mathrm{0,88}$.

   D'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$P\left(S\right)=P\left(S\cap U\right)+P\left(S\cap \overline{U}\right)$$

   Or $$\begin{array}{llll}& P\left(S\cap U\right)=P_U\left(S\right)\times P\left(U\right)& \text{soit}& P\left(S\cap U\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,025}\\ \text{et}& P\left(S\cap \overline{U}\right)=P_{\overline{U}}\left(S\right)\times P\left(\overline{U}\right)& \text{soit}& P\left(S\cap \overline{U}\right)=\mathrm{0,95}\times \mathrm{0,9}=\mathrm{0,855}\end{array}$$

   On obtient alors $$P\left(S\right)=\mathrm{0,025}+\mathrm{0,855}=\mathrm{0,88}$$

   La probabilité que la recharge a été effectuée de façon standard est égale à 0,88.

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3. Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, calculer la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique.

   $$\begin{array}{ccc}{P}_S\left(U\right)={\displaystyle \frac{P\left(S\cap U\right)}{P\left(S\right)}}& \text{soit}& P_S\left(U\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,025}}{\mathrm{0,88}}}\approx \mathrm{0,028}\end{array}$$

   La probabilité, arrondie au millième, qu'une recharge de façon standard ait été effectuée sur une borne publique est 0,028.

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partie b

Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire T suivant une loi normale de moyenne 6 et d'écart type σ.

1. Sachant qu'environ 95 % des durées de charge sont comprises entre 2,6 h et 9,4 h, justifier que l'on peut choisir $\sigma =\mathrm{1,7}$.

   La variable aléatoire T suit la loi normale d'espérance 6 et d'écart-type σ d'où $P\left(6-2\sigma ⩽T⩽6+2\sigma \right)\approx \mathrm{0,954}$.
   Comme $P\left(\mathrm{2,6}⩽T⩽\mathrm{9,4}\right)\approx \mathrm{0,95}$, on en déduit que $6-2\sigma \approx \mathrm{2,6}$ ( ou $6+2\sigma \approx \mathrm{9,4}$ ) soit $\sigma \approx \mathrm{1,7}$.

   On peut considérer que la variable aléatoire T suit une loi normale de moyenne 6 et d'écart type $\sigma =\mathrm{1,7}$.

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2. 1. Calculer $P\left(T>7\right)$.

      T suit la loi normale de moyenne 6 et d'écart type 1,7 d'où : $$\begin{array}{rcl}P\left(T>7\right)& =& P\left(T⩾6\right)-P\left(6⩽T⩽7\right)\\ & =& \mathrm{0,5}-P\left(6⩽T⩽7\right)\\ & \approx & \mathrm{0,278}\end{array}$$

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      La probabilité, arrondie au millième, que la durée de charge soit supérieure à 7 h est 0,278.

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   2. Sachant que l'une des batteries mise en charge n'est pas rechargée complètement au bout de 7 heures, quelle est la probabilité qu'elle ne le soit toujours pas au bout de 9 heures ?

      $$P_{T>7}\left(T>9\right)={\displaystyle \frac{P\left(\left(T>9\right)\cap \left(T>7\right)\right)}{P\left(T>7\right)}}={\displaystyle \frac{P\left(T>9\right)}{P\left(T>7\right)}}\approx \mathrm{0,139}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité q'une batterie qui n'est pas rechargée complètement au bout de 7 heures ne le soit toujours pas au bout de 9 heures est 0,139.

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partie c

Le fabriquant de batteries affirme que 80 % de ses batteries peuvent assurer 350 cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.
Une association de consommateurs réalise une enquête sur 57 batteries de cette marque. Parmi celles-ci, seules 40 n'ont pas subi de perte de puissance significative.
Cette étude peut-elle remettre en cause l'affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.

Soit $p=\mathrm{0,8}$ la proportion de batteries pouvant assurer 350 cycles de rechargement complet. On a $n=57$, $n\times p=57\times \mathrm{0,8}=\mathrm{45,6}$ et $n\times \left(1-p\right)=57\times \mathrm{0,2}=\mathrm{11,4}$.
Les conditions $n⩾30$, $np>5$ et $n\times \left(1-p\right)>5$ d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de batteries pouvant assurer 350 cycles de rechargement complet dans des échantillons de taille $n=57$ est : $$I=\left[\mathrm{0,8}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{57}}};\mathrm{0,8}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}\times \mathrm{0,2}}{57}}}\right]\approx \left[\mathrm{0,696};\mathrm{0,904}\right]$$

La fréquence de batteries pouvant assurer 350 cycles de rechargement complet dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{40}{57}}\approx \mathrm{0,702}$.

La fréquence de batteries pouvant assurer 350 cycles de rechargement complet appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %. Par conséquent, cette étude ne remet pas en cause l'affirmation du constructeur.

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