Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie session septembre 2018

corrigé de l'exercice 3 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ES

Au 1^er janvier 2018, madame DURAND dispose d'un capital de 16 000 €. Le 1^er juillet de chaque année, elle prélève 15 % du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

partie a

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1^er janvier par une suite $(u_{n})$ . Plus précisément, si n est un entier naturel, $u_{n}$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1^er janvier de l'année $2018 + n$ . On a donc $u_{0} = 16000$ .

Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 16000 \times (1 - \frac{15}{100}) = 13600 \\ u_{2} = 13600 \times 0,85 = 11560 \end{array}$
$u_{1} = 13600$ et $u_{2} = 11560$ .
Exprimer $u_{n}$ en fonction de n pour tout n entier naturel.
Pour tout entier naturel n, on a : $\begin{array}{rcl} u_{n + 1} = u_{n} \times (1 - \frac{15}{100}) & soit & u_{n + 1} = u_{n} \times 0,85 \end{array}$
$(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $u_{0} = 16000$ donc pour tout entier naturel n, $u_{n} = 16000 \times {0,85}^{n}$ .
1. Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ en justifiant votre réponse.
  $0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,85}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 16000 \times {0,85}^{n} = 0$ .
  $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
2. Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
  La suite $(u_{n})$ converge vers 0 par conséquent, dans un certain nombre d'années, madame DURAND aura dépensé tout son capital.
À l'aide d'un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d'années à partir duquel son capital devient inférieur ou égal à 2 000 €.
1. Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution, la variable N contienne le résultat attendu.
  $U \leftarrow 16000$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que $U > 2000$
  $N \leftarrow N + 1$
  $U \leftarrow U \times 0,85$
  Fin Tant que
2. Quelle est la valeur numérique contenue par la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 16000 \times {0,85}^{n} < 2000 & \Leftrightarrow & {0,85}^{n} < \frac{2000}{16000} \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,85}^{n}) < \ln 0,125 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,85 < \ln 0,125 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n > \frac{\ln 0,125}{\ln 0,85} & \ln 0,85 < 0 \end{array}$
  Or $\frac{\ln 0,125}{\ln 0,85} \approx 12,8$ donc :
  la valeur numérique contenue par la variable N à la fin de l'exécution de cet algorithme est $N = 13$ .

partie b

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d'ajouter à son capital disponible 300 € chaque 1^er décembre.
On note $v_{n}$ la valeur du capital le 1^er janvier de l'année $2018 + n$ . On a ainsi $v_{0} = 16000$ .

Justifier que, pour tout entier naturel n , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_{n} + 300$ .
Soit $v_{n}$ la valeur du capital le 1^er janvier de l'année $2018 + n$ , la valeur du capital le 1^er janvier de l'année suivante s'obtient à l'aide du montage suivant :
$v_{n} \overset{\times 0,85 ( prélèvement de 15 % en juillet )}{\to} 0,85 v_{n} \overset{+ 300 ( 300 € ajoutés en décembre )}{\to} \underset{v_{n + 1}}{\underset{⏟}{0,85 v_{n} + 300}}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a $v_{n + 1} = 0,85 v_{n} + 300$ .
On considère la suite $(w_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $w_{n} = v_{n} - 2000$ .
1. Calculer $w_{0}$ .
  $w_{0} = 16000 - 2000 = 14000$
2. Montrer que la suite $(w_{n})$ est géométrique de raison 0,85.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} w_{n + 1} & = & v_{n + 1} - 2000 \\ = & 0,85 v_{n} + 300 - 2000 \\ = & 0,85 v_{n} - 1700 \\ = & 0,85 \times (v_{n} - 2000) \\ = & 0,85 w_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $w_{n + 1} = 0,85 w_{n}$ donc $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85.
3. En déduire que, pour tout entier n, $v_{n} = 2000 + 14000 \times {0,85}^{n}$ .
  $(w_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,85 et de premier terme $w_{0} = 14000$ donc pour tout entier naturel n, on a : $w_{n} = 14000 \times {0,85}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $w_{n} = v_{n} - 2000 \Leftrightarrow v_{n} = w_{n} + 2000$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $v_{n} = 2000 + 14000 \times {0,85}^{n}$ .
En s'y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d'un capital supérieur à 2 500 €. A-t-elle raison ?
$0 < 0,85 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,85}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 2000 + 14000 \times {0,85}^{n} = 2000$ .
$\lim_{n \to + \infty} v_{n} = 2000$ par conséquent, à partir d'un certain nombre d'années, madame DURAND ne pourra disposer que d'un capital d'un montant proche de 2 000 €.

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