Baccalauréat 2018 MATHÉMATIQUES Série ES-L

sujet : Polynésie session septembre 2018

corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [-6;4] et dont la courbe 𝒞 est représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle [-6;4].
On note f sa dérivée et f sa dérivée seconde sur l'intervalle [-6;4].

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On a représenté 𝒟, la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0.
La droite 𝒟 passe par l'origine du repère et par le point B(4;6).

  1. Avec la précision permise par le graphique :

    1. donner la valeur de f(0) ;

      La courbe 𝒞 passe par l'origine du repère donc f(0)=0.


    2. donner la valeur de f(0) ;

      Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente 𝒟 à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 0 passant par l'origine du repère et par le point B(4;6) d'où :

      f(0)=64=32.


    3. conjecturer la convexité de la fonction f sur l'intervalle [-6;4].

      Avec la précision permise par le graphique, la courbe 𝒞 semble se situer au dessus de ses tangentes donc la fonction f semble être convexe sur l'intervalle [-6;4].


  2. On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle [-6;4] et que son expression est f(x)=2x-1+e-12x.

    1. Calculer f(x) sur l'intervalle [-6;4].

      Pour tout réel x de l'intervalle [-6;4] :f(x)=2+(-12)×e-12x=2-12e-12x

      La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [-6;4] par f(x)=2-12e-12x.


    2. Montrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)0 est l'intervalle [-2ln(4);4].

      Pour tout réel x de l'intervalle [-6;4] :2-12e-12x0-12e-12x-2e-12x4-12xln(4)x-2ln(4)

      Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)0 est l'intervalle [-2ln(4);4].


    3. Établir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle [-6;4].

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x-6-2ln(4)4
      f(x)0||+
      f(x)

      e3-13

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      3-4ln(4)

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      7+e-2

    4. En déduire le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle [-6;4].

      Nous avons f(-6)=e3-137,1, f(-2ln4)=3-4ln(4)-2,5 et f(4)=7+e-27,1

      L'équation f(x)=0 admet exactement deux solutions.


  3. Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l'équation f(x)=0 sur l'intervalle [-6;4].

    On vérifie que f(0)=0 donc la solution non nulle de l'équation f(x)=0 appartient à l'intervalle [-6;-2ln(4)].

    À l'aide de la calculatrice, on obtient -4,68<x1<-4,68.


  4. Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

    La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle [-6;4] par f(x)=14e-12x.

    Or pour tout réel x, e-12x>0 donc f(x)>0.

    f(x)>0 donc la fonction f est convexe.


  5. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0;4] par g(x)=x2-x-2e-12x. On admet que la fonction g est dérivable sur [0;4].

    1. Montrer que la fonction g est une primitive la fonction f sur l'intervalle [0;4].

      Pour tout réel x de l'intervalle [0;4] :g(x)=2x-1-2×(-12)×e-12x=2x-1+e-12x

      Pour tout réel x de l'intervalle [0;4], g(x)=f(x) donc la fonction g est une primitive la fonction f sur l'intervalle [0;4].


    2. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;4]. En donner une valeur approchée à 0,01 près.

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;4] est : m=14×04f(x)dx=14×[g(4)-g(0)]=14×[(12-2e-2)-(-2)]=7-e-22

      La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;4] est m=7-e-223,43.



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