Soit f la fonction définie sur l'intervalle et dont la courbe est représentée ci-dessous.
On admet que la fonction f est deux fois dérivable sur l'intervalle .
On note sa dérivée et sa dérivée seconde sur l'intervalle .
On a représenté , la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
La droite passe par l'origine du repère et par le point .
Avec la précision permise par le graphique :
donner la valeur de ;
La courbe passe par l'origine du repère donc .
donner la valeur de ;
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0 passant par l'origine du repère et par le point d'où :
.
conjecturer la convexité de la fonction f sur l'intervalle .
Avec la précision permise par le graphique, la courbe semble se situer au dessus de ses tangentes donc la fonction f semble être convexe sur l'intervalle .
On admet que la fonction f est définie et dérivable sur l'intervalle et que son expression est .
Calculer sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle :
La dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Montrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle :
Ainsi, l'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle .
Établir le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | 4 | ||||
− | + | ||||
En déduire le nombre de solutions de l'équation sur l'intervalle .
Nous avons , et
L'équation admet exactement deux solutions.
Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l'équation sur l'intervalle .
On vérifie que donc la solution non nulle de l'équation appartient à l'intervalle .
À l'aide de la calculatrice, on obtient .
Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.
La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Or pour tout réel x, donc .
donc la fonction f est convexe.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle par . On admet que la fonction g est dérivable sur .
Montrer que la fonction g est une primitive la fonction f sur l'intervalle .
Pour tout réel x de l'intervalle :
Pour tout réel x de l'intervalle , donc la fonction g est une primitive la fonction f sur l'intervalle .
En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle . En donner une valeur approchée à 0,01 près.
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est :
La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle est .
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