contrôle du 3 juin 2011

Corrigé de l'exercice 1

On a tracé ci-dessous, la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a : lectures graphiques

1. Donner les valeurs de $f\left(0\right)$, $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

   • Le point $A\left(0;-1\right)$ appartient à la courbe $C_f$ donc $f\left(0\right)=-1$.

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;-1\right)$ passant par le point de coordonnées $\left(1;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right)$ donc $f\prime \left(0\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

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   • La tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0$.

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2. Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie ou fausse.

   1. $f\prime \left(-1\right)\times f\prime \left(0\right)⩽0$.

      Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};{\displaystyle \frac{3}{2}}\right]$, la fonction f est décroissante d'où $f\prime \left(-1\right)⩽0$ et $f\prime \left(0\right)⩽0$ donc $f\prime \left(-1\right)\times f\prime \left(0\right)⩾0$.

      La proposition $f\prime \left(-1\right)\times f\prime \left(0\right)⩽0$ est fausse.

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   2. $f\prime \left(4\right)\times f\prime \left(8\right)⩾0$.

      Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, la fonction f est croissante d'où $f\prime \left(4\right)⩾0$ et $f\prime \left(8\right)⩾0$ donc $f\prime \left(4\right)\times f\prime \left(8\right)⩾0$.

      La proposition $f\prime \left(4\right)\times f\prime \left(8\right)⩾0$ est vraie.

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   3. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

      La fonction f change de variation pour $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ donc la dérivée change de signe en ce point.

      La proposition sur l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$ est fausse.

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partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-13x-6}{4x+6}}$.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

      • $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }2x^2-13x-6={\displaystyle \frac{9}{2}}+{\displaystyle \frac{39}{2}}-6=18$ et $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }4x+6=0^{+}$ ($x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}\iff 4x+6>0$ ) alors par quotient, $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2-13x-6}{4x+6}}=+\infty$.

        Ainsi, $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, donc la droite d'équation $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ est asymptote à la courbe $C_f$.

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      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2-13x-6}{4x+6}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2x^2}{4x}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{x}{2}}=+\infty$

        Donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

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   2. Montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-4$.

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ :$$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-4\right)& =& {\displaystyle \frac{2x^2-13x-6}{4x+6}}-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-4\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-13x-6-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-4\right)\left(4x+6\right)}{4x+6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-13x-6-2x^2-3x+16x+24}{4x+6}}\\ & =& {\displaystyle \frac{18}{4x+6}}\end{array}$$

      Or $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{18}{4x+6}}=0$

      Ainsi $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)-\left({\displaystyle \frac{x}{2}}-4\right)=0$ donc la droite d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-4$, est asymptote à la courbe $C_f$ en $+\infty$.

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2. 1. Montrer que $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8x^2+24x-54}{{\left(4x+6\right)}^2}}$.

      Sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, $4x+6\ne 0$, alors la fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables : $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$

      Avec u et v fonctions définies sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par : $$\begin{array}{llll}& u\left(x\right)=2x^2-13x-6& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=4x-13\\ \text{et}& v\left(x\right)=4x+6& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=4\end{array}$$

      donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ : $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(4x-13\right)\left(4x+6\right)-4\times \left(2x^2-13x-6\right)}{{\left(4x+6\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{16x^2+24x-52x-78-8x^2+52x+24}{{\left(4x+6\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{8x^2+24x-54}{{\left(4x+6\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8x^2+24x-54}{{\left(4x+6\right)}^2}}$.

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   2. Étudier les variations de f.

      Les variations de f se déduisent du signe de la dérivée $f\prime$.

      Pour tout réel $x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}$, ${\left(4x+6\right)}^2>0$, donc sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)$ est du même que le polynôme du second degré $8x^2+24x-54$ avec $a=8$, $b=24$ et $c=-54$

      $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ soit $\mathrm{\Delta }=576+1728=2304={48}^2$ , le polynôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}\\ \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-24-48}{16}}=-{\displaystyle \frac{9}{2}}& \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-24+48}{16}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines.
      Nous pouvons donc déduire le tableau donnant le signe de $f\prime$ sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ ainsi que les variations de la fonction f :

      x	$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$				${\displaystyle \frac{3}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			$+\infty$		$-\frac{7}{4}$		$+\infty$

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      Calcul du minimum : $$f\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{39}{2}}-6}{6+6}}=-{\displaystyle \frac{7}{4}}$$

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{-54}{36}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}& \text{et}& f\left(0\right)={\displaystyle \frac{-6}{6}}=-1\end{array}$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}x-1$.

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