contrôle du 3 juin 2011

Exercice 1

On a tracé ci-dessous, la courbe représentative $C_f$ d'une fonction f définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$.
On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

partie a : lectures graphiques

1. Donner les valeurs de $f\left(0\right)$, $f\prime \left(0\right)$ et $f\prime \left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$.

2. Pour chacune des propositions suivantes dire si elle est vraie ou fausse.

   1. $f\prime \left(-1\right)\times f\prime \left(0\right)⩽0$.

   2. $f\prime \left(4\right)\times f\prime \left(8\right)⩾0$.

   3. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $\left[0;4\right]$, $f\prime \left(x\right)⩽0$.

partie b

La fonction f est définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x^2-13x-6}{4x+6}}$.

1. 1. Déterminer $\underset{x\to -{{\displaystyle \frac{3}{2}}}^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$. En déduire l'existence d'une asymptote pour la courbe $C_f$.

   2. Montrer que la courbe $C_f$ admet une deuxième asymptote d'équation $y={\displaystyle \frac{x}{2}}-4$.

2. 1. Montrer que $f\prime$ est la fonction définie sur $\left]-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8x^2+24x-54}{{\left(4x+6\right)}^2}}$.

   2. Étudier les variations de f.

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

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