contrôles en première ES

contrôle du 8 avril 2011

Thèmes :

Dérivée et variation.
Suites.

Exercice 1

Soit f la fonction définie sur ℝ par $f (x) = \frac{4 x - 5}{x^{2} - 2 x + 4} + \frac{1}{3}$ et $C_{f}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé.

On note $f'$ la dérivée de la fonction f sur ℝ. Calculer $f' (x)$ .
1. Étudier le signe de $f' (x)$ .
2. En déduire le tableau des variations de la fonction f.
Déterminer une équation des tangentes à la courbe $C_{f}$ aux points A et B d'abscisses respectives 1 et 3.
Tracer ces deux tangentes dans le repère précédent.

Exercice 2

On considère la suite numérique $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 125$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,8 u_{n} + 10$ .

Calculer $u_{3}$ . La suite $(u_{n})$ est-elle géométrique ?
Soit $(v_{n})$ la suite définie pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 50$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,8.
2. Exprimer alors $v_{n}$ en fonction de n.
3. En déduire une expression de $u_{n}$ en fonction de n puis, calculer la valeur arrondie au centième près de $u_{30}$ .
1. Déterminer, en fonction de n, la somme $v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ .
2. Calculer la valeur arrondie au centième près, de la somme $S = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{19}$ .

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