contrôle du 21 mars 2011

Exercice 1

On considère les deux matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}-3& 5& 2\\ 1& -2& 3\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\\ 0& 4\end{array}\right)$
Calculer le produit A⁢B et le produit B⁢A

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Exercice 2

Calculer le produit A⁢B des matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 2\\ 2& -1& 1\\ -6& 4& -3\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ 0& 6& 2\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$. Interpréter le résultat.

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Exercice 3

1. Traduire le système $S:\{\begin{array}{rcl}5x+5y+6z& =& 60\\ 4x+3y& =& 24\\ x+z& =& 8\end{array}$ par une égalité matricielle de la forme $AX=B$.

2. 1. À l'aide de la calculatrice, vérifier que la matrice A est inversible.

   2. Résoudre le système.

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Exercice 4

Une entreprise fabrique deux types de produits notés A et B :

• la fabrication d'un article A nécessite 5 unités de matières premières, 6 unités de main d'œuvre et 2 unité d'énergie ;
• la fabrication d'un article B nécessite 10 unités de matières premières, 4 unités de main d'œuvre et 3 unités d'énergie.

1. On note $C=\left(\begin{array}{ccc}12& 8& 6\end{array}\right)$ la matrice ligne des coûts unitaires, en euros, des trois facteurs de production (matières premières, main d'œuvre et énergie).
   Calculer sous forme d'un produit de matrices, la matrice ligne $P=\left(\begin{array}{cc}{p}_A& p_B\end{array}\right)$ des prix de revient des produits A et B.

2. Le bénéfice est égal à 30 % du prix de revient sur le produit A et à 25 % du prix de revient sur le produit B.

   1. Déterminer les éléments de la matrice carrée M telle que la matrice ligne $V=\left(\begin{array}{cc}{v}_A& v_B\end{array}\right)$ des prix de vente de chaque article soit égale au produit des deux matrices P et M.

   2. Calculer V.

3. L'entreprise reçoit une commande de 200 produits A et 150 produits B. Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, le montant total en euros de la commande.

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