contrôles en première ES

contrôle du 23 mai 2011

Corrigé de l'exercice 1

Sur une population donnée, abonnée à deux opérateurs téléphoniques A et B, on considère que, chaque année, 15 % des abonnés à l'opérateur A le quittent pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quittent pour l'opérateur A.

On néglige les nouveaux abonnés. On note :

$a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur A l'année 2008 + n
$a_{n}$ la part des abonnés à l'opérateur B l'année 2008 + n
$P_{n} = (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ la matrice colonne correspondant aux parts en pourcentage des abonnés l'année 2008 + n avec $a_{n} + b_{n} = 1$ .

partie a

On note M la matrice carrée telle que, pour tout entier naturel n : $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ . Calculer M.

Chaque année :
- 15 % des abonnés à l'opérateur A le quittent et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quittent pour l'opérateur A d'où $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n}$ .
- 15 % des abonnés à l'opérateur A le quittent pour l'opérateur B et 10 % des abonnés à l'opérateur B le quittent d'où $b_{n + 1} = 0,15 a_{n} + 0,9 b_{n}$ .
D'où $P_{n + 1} = (\begin{matrix} 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n} \\ 0,15 a_{n} + 0,9 b_{n} \end{matrix})$ soit $P_{n + 1} = (\begin{matrix} 0,85 & 0,1 \\ 0,15 & 0,9 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix})$ .
La matrice M telle que, pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ est $M = (\begin{matrix} 0,85 & 0,1 \\ 0,15 & 0,9 \end{matrix})$ .
En 2008, 24 % de cette population est abonnée à l'opérateur A. On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 0,24 \\ 0,76 \end{matrix})$ .
1. Montrer que la matrice $P_{1}$ est égale à $(\begin{matrix} 0,28 \\ 0,72 \end{matrix})$ .
  $\begin{matrix} P_{1} & = & (\begin{matrix} 0,85 & 0,1 \\ 0,15 & 0,9 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,24 \\ 0,76 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,28 \\ 0,72 \end{matrix}) \end{matrix}$
  
  Ainsi, $P_{1} = (\begin{matrix} 0,28 \\ 0,72 \end{matrix})$ .
2. Déterminer la répartition prévisible de cette population en 2011.
  Nous avons $P_{2} = M \times P_{1}$ d'où $P_{2} = M \times (M \times P_{0})$ soit $P_{2} = M^{2} \times P_{0}$ .
  De même, $P_{3} = M \times P_{2}$ d'où $P_{3} = M \times (M^{2} \times P_{0})$ soit $P_{3} = M^{3} \times P_{0}$ .
  
  La répartition prévisible de cette population en 2011 est : $\begin{matrix} P_{3} & = & {(\begin{matrix} 0,85 & 0,1 \\ 0,15 & 0,9 \end{matrix})}^{3} \times (\begin{matrix} 0,24 \\ 0,76 \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,3325 \\ 0,6675 \end{matrix}) \end{matrix}$
  En 2011, les parts de marché des deux opérateurs téléphoniques seront respectivement A 33,25 % et B 66,75 %.

partie b

Montrer que pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .

Pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = M \times P_{n}$ . Soit : $\begin{array}{l} (\begin{matrix} a_{n + 1} \\ b_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,85 & 0,1 \\ 0,15 & 0,9 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} a_{n} \\ b_{n} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n} \\ 0,15 a_{n} + 0,9 b_{n} \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, $a_{n + 1} = 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n}$ (éventuellent déjà montré dans la partie A). Or pour tout entier naturel n, $a_{n} + b_{n} = 1$ d'où $b_{n} = 1 - a_{n}$ d'où $\begin{array}{l} 0,85 a_{n} + 0,1 b_{n} & = & 0,85 a_{n} + 0,1 \times (1 - a_{n}) \\ = & 0,75 a_{n} + 0,1 \end{array}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n + 1} = 0,75 a_{n} + 0,1$ .
On pose, pour tout entier naturel n, $u_{n} = a_{n} - 0,4$
.
1. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
  Le terme initial de la suite $(u_{n})$ est : $u_{0} = a_{0} - 0,4 = 0,24 - 0,4 = - 0,16$
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} & = & a_{n + 1} - 0,4 \\ = & (0,75 a_{n} + 0,1) - 0,4 \\ = & 0,75 a_{n} - 0,3 \\ = & 0,75 (a_{n} - 0,4) \\ = & 0,75 u_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,75 u_{n}$ . Donc la suite $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 dont le premier terme est $u_{0} = - 0,16$ .
2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de n.
  $(u_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,75 et de premier terme $u_{0} = - 0,16$ , alors pour tout entier naturel n, $u_{n} = - 0,16 \times {0,75}^{n}$ .
3. En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de n.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{l} u_{n} = a_{n} - 0,4 & \Leftrightarrow & a_{n} = u_{n} + 0,4 \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $a_{n} = 0,4 - 0,16 \times {0,75}^{n}$ .
L'affirmation suivante est elle exacte ?
« Si la tendance observée se maintient, la part des des abonnés à l'opérateur A augmentera de plus de 62 % entre 2008 et 2018 »

Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution de la part des des abonnés à l'opérateur A entre 2008 et 2018 est : $\begin{matrix} \frac{a_{10}}{a_{0}} & = & \frac{0,4 - 0,16 \times {0,75}^{10}}{0,24} \approx & 1,629 \end{matrix}$
L'affirmation est exacte : entre 2008 et 2018 la part des des abonnés à l'opérateur A augmentera d'environ 62,9 %

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