contrôles en première ES

contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 1

On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel n par $u_{n} = 2^{n} - 3$ .

Calculer $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{3}$ et $u_{5}$ .
$\begin{array}{l} u_{0} = 2^{0} - 3 = - 2 \\ u_{1} = 2^{1} - 3 = - 1 \\ u_{3} = 2^{3} - 3 = 5 \\ u_{5} = 2^{5} - 3 = 29 \end{array}$
Ainsi, $u_{0} = - 2$ , $u_{1} = - 1$ , $u_{3} = 5$ et $u_{5} = 29$ .
1. Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de n.
  $u_{n + 1} = 2^{n + 1} - 3$ .
2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ . En déduire une définition de la suite $(u_{n})$ à l'aide d'une relation de récurrence.
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcl} 2 u_{n} + 3 & = & 2 \times (2^{n} - 3) + 3 \\ = & 2 \times 2^{n} - 6 + 3 \\ = & 2^{n + 1} - 3 \end{array}$
  Ainsi, la suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = - 2$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 2 u_{n} + 3$ .

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