contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 4

Dans un casino, un jeu sur machine se déroule de manière suivante :
Après une mise de 1 euro, un nombre a compris entre 1 et 50 est tiré au hasard.
Si a est un nombre premier le joueur reçoit 1 euro, si a est un multiple de 8 le joueur reçoit 2 euros, si a est un multiple de 9 le joueur reçoit 3 euros. Pour les 26 autres valeurs de a, le joueur perd sa mise.

1. On définit la variable aléatoire G qui est associée au gain algébrique du joueur.

   1. Déterminer la loi de probabilité de G.

      • Il y a 15 nombres premiers inférieurs à 50 : $\left\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47\right\}$.
      • Il y a 6 multiples de 8 inférieurs à 50 : $\left\{8;16;24;32;40;48\right\}$.
      • Il y a 5 multiples de 9 inférieurs à 50 : $\left\{9;18;27;36;45\right\}$.

      Le gain algébrique du joueur peut prendre les valeurs $\left\{-10;1;2\right\}$. D'où le tableau de la loi de probabilité de G :

      Montant $k_i$	$-1$	0	1	2
      $P\left(G=k_i\right)$	${\displaystyle \frac{24}{50}}=\mathrm{0,48}$	${\displaystyle \frac{15}{50}}=\mathrm{0,3}$	${\displaystyle \frac{6}{50}}=\mathrm{0,12}$	${\displaystyle \frac{5}{50}}=\mathrm{0,1}$

   2. Calculer l'espérance mathématique de G et interpréter le résultat.

      L'espérance mathématique de la variable aléatoire G est :$$E\left(G\right)=-1\times \mathrm{0,48}+0\times \mathrm{0,3}+1\times \mathrm{0,12}+2\times \mathrm{0,1}=-\mathrm{0,16}$$

      L'espérance mathématique de G est égale à $\left(-\mathrm{0,16}\right)$. Sur un l'ensemble des parties jouées avec cette machine, le gain moyen du casino est de 0,16 euros par partie.

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2. Un joueur effectue 10 parties consécutives. On note X la variable aléatoire associée au nombre de parties où le joueur perd sa mise.

   1. Calculer l'espérance mathématique de X.

      La variable aléatoire X suit la loi binomiale $ℬ\left(10;\mathrm{0,48}\right)$ de paramètres $n=10$ et $p=\mathrm{0,48}$ d'où :

      $E\left(X\right)=10\times \mathrm{0,48}=\mathrm{4,8}$.

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   2. Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre cinq parties ?

      À l'aide de la calculatrice :$$P\left(X=5\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)\times {\mathrm{0,48}}^5\times {\left(1-\mathrm{0,48}\right)}^5\approx \mathrm{0,244}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité pour le joueur de perdre cinq parties est 0,244.

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   3. Calculer la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre au moins sept parties.

      $$P\left(X⩾7\right)=1-P\left(X⩽6\right)\approx \mathrm{0,141}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité pour le joueur de perdre au moins sept parties est 0,141.

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3. Après avoir observé 50 parties, une personne constate qu'il y a eu 29 parties pour lesquelles les joueurs ont perdu leur mise.
   Au seuil de risque 5 %, l'observateur peut-il considérer que la probabilité de perdre sa mise à ce jeu n'est pas égale à 0,48 ?

   Soit Y la variable aléatoire associée au nombre de parties où le joueur perd sa mise. Y suit la loi binomiale $ℬ\left(50;\mathrm{0,48}\right)$ de paramètres $n=50$ et $p=\mathrm{0,48}$

   • Le plus petit entier a tel que $P\left(Y⩽a\right)>\mathrm{0,025}$ est $a=17$

   • Le plus petit entier b tel que $P\left(Y⩽b\right)⩾\mathrm{0,975}$ est $b=31$

   Un intervalle de fluctuation à 95 % de la fréquence des parties pour lesquelles un joueur perd sa mise dans un échantillon de taille 50 est :$$I=\left[{\displaystyle \frac{17}{50}};{\displaystyle \frac{31}{50}}\right]=\left[\mathrm{0,34};\mathrm{0,62}\right]$$

   La fréquence observée du nombre de parties pour lesquelles un joueur perd sa mise dans cet échantillon est :$$f={\displaystyle \frac{29}{50}}=\mathrm{0,58}$$

   $\mathrm{0,58}\in \left[\mathrm{0,34};\mathrm{0,62}\right]$. La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation à 95 %, le résultat de cette observation ne remet pas en question l'hypothèse selon laquelle la probabilité de perdre sa mise est égale à 0,48.

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