contrôles en première ES

contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 2

La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 2 \sqrt{2}$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes de $u_{1}$ à $u_{N}$ de la suite pour un entier N saisi par l'utilisateur.
$U \leftarrow 2 \sqrt{2}$
Pour I variant de 1 à N
$U \leftarrow \frac{U^{2}}{2} - 4$
Fin Pour
1. Exprimer $u_{n + 1}$ en fonction de $u_{n}$ .
  La suite $(u_{n})$ est définie par $u_{0} = 2 \sqrt{2}$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = \frac{{u_{n}}^{2}}{2} - 4$ .
2. Calculer $u_{1}$ , $u_{2}$ , $u_{3}$ et $u_{6}$ .
  $\begin{array}{l} u_{1} = \frac{{(2 \sqrt{2})}^{2}}{2} - 4 = 0 \\ u_{2} = \frac{0^{2}}{2} - 4 = - 4 \\ u_{3} = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} - 4 = 4 \end{array}$
  Pour calculer $u_{6}$ , nous devons d'abord déterminer les valeurs de $u_{4}$ et $u_{5}$ . Or $u_{4} = \frac{4^{2}}{2} - 4 = 4 = u_{3}$ . La suite $(u_{n})$ est constante à partir de $u_{3}$ .
  Ainsi, $u_{1} = 0$ , $u_{2} = - 4$ , $u_{3} = 4$ et $u_{6} = 4$ .
$(v_{n})$ est la suite définie par $v_{0} = \frac{7}{2}$ et pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = \frac{{v_{n}}^{2}}{2} - 4$ .
On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la parabole $𝒞_{f}$ représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f (x) = \frac{x^{2}}{2} - 4$ et la droite 𝒟 d'équation $y = x$ .
1. On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $(v_{n})$ . En utilisant la courbe $𝒞_{f}$ et la droite 𝒟 placer sur l'axe des abscisses les termes $v_{2}$ à $v_{6}$ .
2. La suite $(v_{n})$ est-elle monotone ?
  $v_{3} < v_{2}$ et $v_{4} > v_{3}$ donc la suite $(v_{n})$ n'est pas monotone.

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