contrôle du 08 mars 2018

exercice 1

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $u_n=2^n-3$.

1. Calculer $u_0$, $u_1$, $u_3$ et $u_5$.

2. 1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de n.

   2. Montrer que pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=2u_n+3$.
      En déduire une définition de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'une relation de récurrence.

---

exercice 2

1. La suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=2\sqrt{2}$ et l'algorithme suivant qui permet de calculer les termes de $u_1$ à $u_N$ de la suite pour un entier N saisi par l'utilisateur.

   $U\leftarrow 2\sqrt{2}$

   Pour I variant de 1 à N
   $U\leftarrow {\displaystyle \frac{U^2}{2}}-4$
   Fin Pour

   1. Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

   2. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_6$.

2. $\left(v_n\right)$ est la suite définie par $v_0={\displaystyle \frac{7}{2}}$ et pour tout entier naturel n, $v_{n+1}={\displaystyle \frac{{v_n}^2}{2}}-4$.
   On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la parabole ${𝒞}_f$ représentative de la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4$ et la droite 𝒟 d'équation $y=x$.

   1. On a représenté sur l'axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite $\left(v_n\right)$.
      En utilisant la courbe ${𝒞}_f$ et la droite 𝒟 placer sur l'axe des abscisses les termes $v_2$ à $v_6$.

   2. La suite $\left(v_n\right)$ est-elle monotone ?

---

exercice 3

Étudier le sens de variation des suites suivantes en comparant $u_{n+1}$ et $u_n$

1. $\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $u_n={\displaystyle \frac{n}{n+1}}$.

2. $\left(u_n\right)$ est la suite définie pour tout entier naturel n par $u_n=5\times {\mathrm{0,2}}^n+3$.

---

exercice 4

Dans un casino, un jeu sur machine se déroule de manière suivante :
Après une mise de 1 euro, un nombre a compris entre 1 et 50 est tiré au hasard.
Si a est un nombre premier le joueur reçoit 1 euro, si a est un multiple de 8 le joueur reçoit 2 euros, si a est un multiple de 9 le joueur reçoit 3 euros. Pour les 24 autres valeurs de a, le joueur perd sa mise.

1. On définit la variable aléatoire G qui est associée au gain algébrique du joueur.

   1. Déterminer la loi de probabilité de G.

   2. Calculer l'espérance mathématique de G et interpréter le résultat.

2. Un joueur effectue 10 parties consécutives.
   On note X la variable aléatoire associée au nombre de parties où le joueur perd sa mise.

   1. Calculer l'espérance mathématique de X.

   2. Quelle est la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre cinq parties ?

   3. Calculer la probabilité, arrondie au millième près, pour le joueur de perdre au moins sept parties.

3. Après avoir observé 50 parties, une personne constate qu'il y a eu 29 parties pour lesquelles les joueurs ont perdu leur mise.
   Au seuil de risque 5 %, l'observateur peut-il considérer que la probabilité de perdre sa mise à ce jeu n'est pas égale à 0,48 ?

---

exercice 5

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe ${𝒞}_f$ représentative d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ ainsi que les tangentes à la courbe ${𝒞}_f$ aux points A et B d'abscisses respectives $-2$ et 2.

On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f.

1. Par lecture graphique donner les valeurs de $f\prime \left(-2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

2. La proposition $f\prime \left(0\right)⩽f\prime \left(4\right)$ est-elle vraie ?

partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{6x-x^2}{x^2-x+2}}$.

1. Montrer que la dérivée $f\prime$ de la fonction f est définie par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}$.

2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

3. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0.

   2. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite T.

---

Télécharger le sujet :

  LaTeX      |      Pdf    

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

programme antérieur à 2019 : ------- Liste des thèmes disponibles -------Part en pourcentagePourcentage d'évolutionIndicesSystème à deux inconnuesSystème à trois inconnuesSystème d'inéquationsFonctions généralitésFonctions associéesComposée de deux fonctionsFonctions de référenceSecond degré : fonctionsSecond degré : équation, inéquationSecond degré : applicationsStatistiqueProbabilitéVariable aléatoireLoi binomialeDérivée : lecture graphiqueDérivée d'une fonctionDérivée et variationLimites et dérivées : lecture graphiqueÉtude de fonctions (limites)SuitesFonctions affines par morceauxGéométrie dans l'espace (I)Équations de plansMatrices : calculsMatrices : Système d'équationMatrices : application à l'économieMatrices de transition

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.