contrôles en première ES

contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 5

partie a

On a tracé ci-dessous, la courbe 𝒞f représentative d'une fonction f définie et dérivable sur ainsi que les tangentes à la courbe 𝒞f aux points A et B d'abscisses respectives -2 et 2.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

On note f la fonction dérivée de la fonction f.

  1. Par lecture graphique donner les valeurs de f(-2) et f(2).

    • La tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse -2 est parallèle à l'axe des abscisses donc f(-2)=0.


    • Le nombre dérivé f(2) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe 𝒞f au point B(2;2) passant par le point de coordonnées (1;3) d'où f(2)=3-21-2=-1.


  2. La proposition f(0)f(4) est-elle vraie ?

    • Sur l'intervalle [-2;1], la fonction f est croissante donc f(0)0.

    • Sur l'intervalle [2;5], la fonction f est décroissante donc f(4)0.

    Ainsi, la proposition f(0)f(4) est fausse.


partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par f(x)=6x-x2x2-x+2.

  1. Montrer que la dérivée f de la fonction f est définie par f(x)=-5x2-4x+12(x2-x+2)2.

    • Le discriminant du trinôme x2-x+2 est Δ=1-8=-7 donc pour tout réel x, x2-x+20.

    • La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv avec v0 d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x : {u(x)=6x-x2d'oùu(x)=6-2x et v(x)=x2-x+2 d'où v(x)=2x-1

      Soit pour tout réel x, f(x)=(6-2x)×(x2-x+2)-(6x-x2)×(2x-1)(x2-x+2)2=(6x2-6x+12-2x3+2x2-4x)-(12x2-6x-2x3+x2)(x2-x+2)2=-2x3+8x2-10x+12+2x3-13x2+6x(x2-x+2)2=-5x2-4x+12(x2-x+2)2

    Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-5x2-4x+12(x2-x+2)2.


    1. Étudier le signe de f(x).

      Pour tout réel x, (x2-x+2)2>0. Par conséquent, f(x) est du même signe que le polynôme du second degré -5x2-4x+12 avec a=-5, b=-4 et c=12.
      Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où Δ=16+240=256. Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=4-16-10=65etx2=-b+Δ2aSoitx2=4+16-10=-2

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de f(x) suivant les valeurs du réel x :

      x- -2 65 +
      Signe de f(x) 0||+0|| 
    2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x- -2 65 +
      f(x) 0||+0|| 

      f(x)

       fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      187

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 
    1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 0.

      La tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 0 a pour équation : y=f(0)×x+f(0)

      Or f(0)=0etf(0)=1222=3

      La tangente T à la courbe 𝒞f au point d'abscisse 0 a pour équation y=3x.


    2. Étudier les positions relatives de la courbe 𝒞f et de la droite T.

      Les positions relatives de la courbe 𝒞f et de la tangente T se déduisent du signe de la différence f(x)-3x=6x-x2x2-x+2-3x=6x-x2-3x(x2-x+2)x2-x+2=6x-x2-3x3+3x2-6xx2-x+2=2x2-3x3x2-x+2=x2(2-3x)x2-x+2

      Étudions le signe de f(x)-3x à l'aide d'un tableau :

      x- 0 23 +
      x2 +0||+|+ 
      2-3x +|+0|| 
      x2-x+2 +|+|+ 
      f(x)-3x=x2(2-3x)x2-x+2 +0||+0|| 
      • Sur l'intervalle ]-;23] la courbe 𝒞f est en dessus de la tangente T.
      • Sur l'intervalle [23;+[ la courbe 𝒞f est au dessous de la tangente T.
      • La tangente T coupe la courbe 𝒞f en deux points d'abscisses respectives 0 et 23.


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