contrôle du 08 mars 2018

Corrigé de l'exercice 5

partie a

1. Par lecture graphique donner les valeurs de $f\prime \left(-2\right)$ et $f\prime \left(2\right)$.

   • La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-2$ est parallèle à l'axe des abscisses donc $f\prime \left(-2\right)=0$.

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   • Le nombre dérivé $f\prime \left(2\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $B\left(2;2\right)$ passant par le point de coordonnées $\left(1;3\right)$ d'où $f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{3-2}{1-2}}=-1$.

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2. La proposition $f\prime \left(0\right)⩽f\prime \left(4\right)$ est-elle vraie ?

   • Sur l'intervalle $\left[-2;1\right]$, la fonction f est croissante donc $f\prime \left(0\right)⩾0$.

   • Sur l'intervalle $\left[2;5\right]$, la fonction f est décroissante donc $f\prime \left(4\right)⩽0$.

   Ainsi, la proposition $f\prime \left(0\right)⩽f\prime \left(4\right)$ est fausse.

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partie b

La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{6x-x^2}{x^2-x+2}}$.

1. Montrer que la dérivée $f\prime$ de la fonction f est définie par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}$.

   • Le discriminant du trinôme $x^2-x+2$ est $\mathrm{\Delta }=1-8=-7$ donc pour tout réel x, $x^2-x+2\ne 0$.

   • La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=6x-x^2& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=6-2x\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-x+2& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-1\end{array}$

     Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(6-2x\right)\times \left(x^2-x+2\right)-\left(6x-x^2\right)\times \left(2x-1\right)}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{\left(6x^2-6x+12-2x^3+2x^2-4x\right)-\left(12x^2-6x-2x^3+x^2\right)}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-2x^3+8x^2-10x+12+2x^3-13x^2+6x}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-5x^2-4x+12}{{\left(x^2-x+2\right)}^2}}$.

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2. 1. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

      Pour tout réel x, ${\left(x^2-x+2\right)}^2>0$. Par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-5x^2-4x+12$ avec $a=-5$, $b=-4$ et $c=12$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=16+240=256\end{array}$. $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{4-16}{-10}}={\displaystyle \frac{6}{5}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{4+16}{-10}}=-2\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{6}{5}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   2. Donner le tableau des variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

      x	$-\infty$		$-2$		${\displaystyle \frac{6}{5}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-2$		${\displaystyle \frac{18}{7}}$

3. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0.

      La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation : $$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

      Or $$\begin{array}{ccc}f\left(0\right)=0& \text{et}& f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{12}{2^2}}=3\end{array}$$

      La tangente T à la courbe ${𝒞}_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=3x$.

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   2. Étudier les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la droite T.

      Les positions relatives de la courbe ${𝒞}_f$ et de la tangente T se déduisent du signe de la différence $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)-3x& =& {\displaystyle \frac{6x-x^2}{x^2-x+2}}-3x\\ & =& {\displaystyle \frac{6x-x^2-3x\left(x^2-x+2\right)}{x^2-x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{6x-x^2-3x^3+3x^2-6x}{x^2-x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{2x^2-3x^3}{x^2-x+2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2\left(2-3x\right)}{x^2-x+2}}\end{array}$$

      Étudions le signe de $f\left(x\right)-3x$ à l'aide d'un tableau :

      x	$-\infty$		0		${\displaystyle \frac{2}{3}}$		$+\infty$
      $x^2$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$|$	+
      $2-3x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $x^2-x+2$		+	$|$	+	$|$	+
      $f\left(x\right)-3x={\displaystyle \frac{x^2\left(2-3x\right)}{x^2-x+2}}$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

      • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{2}{3}}\right]$ la courbe ${𝒞}_f$ est en dessus de la tangente T.
      • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{2}{3}};+\infty \right[$ la courbe ${𝒞}_f$ est au dessous de la tangente T.
      • La tangente T coupe la courbe ${𝒞}_f$ en deux points d'abscisses respectives 0 et ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

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