On a tracé ci-dessous, la courbe représentative d'une fonction f définie et dérivable sur ainsi que les tangentes à la courbe aux points A et B d'abscisses respectives et 2.
On note la fonction dérivée de la fonction f.
Par lecture graphique donner les valeurs de et .
La tangente à la courbe au point A d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point passant par le point de coordonnées d'où .
La proposition est-elle vraie ?
Sur l'intervalle , la fonction f est croissante donc .
Sur l'intervalle , la fonction f est décroissante donc .
Ainsi, la proposition est fausse.
La fonction f est définie pour tout réel x par .
Montrer que la dérivée de la fonction f est définie par .
Le discriminant du trinôme est donc pour tout réel x, .
La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. avec d'où avec pour tout réel x :
Soit pour tout réel x,
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier le signe de .
Pour tout réel x, . Par conséquent, est du même signe que le polynôme du second degré avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où . donc le polynôme a deux racines :
Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de suivant les valeurs du réel x :
x | |||||||
Signe de | − | + | − |
Donner le tableau des variations de la fonction f.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :
x | |||||||
− | + | − | |||||
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0.
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation :
Or
La tangente T à la courbe au point d'abscisse 0 a pour équation .
Étudier les positions relatives de la courbe et de la droite T.
Les positions relatives de la courbe et de la tangente T se déduisent du signe de la différence
Étudions le signe de à l'aide d'un tableau :
x | 0 | ||||||
+ | + | + | |||||
+ | + | − | |||||
+ | + | + | |||||
+ | + | − |
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.