f est une fonction définie sur un intervalle I. Soient a et (avec ) deux réels distincts de l'intervalle I .
On a appelle taux d'accroissement de la fonction f entre a et le nombre .
remarque : Le nombre est aussi appelé accroissement moyen de la fonction f entre a et .
exemple
Soit f la fonction définie sur par . Le taux d'accroissement entre 2 et est :
et sont deux points de la courbe représentative de la fonction f.
Les points A et M n'ayant pas la même abscisse, le coefficient directeur de la droite (AM) est :
Ainsi, le taux d'accroissement de f entre a et est égal au coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe :
On s'intéresse au taux d'accroissement de la fonction f quand h prend des valeurs de plus en plus proches de 0.
Soient et avec deux points distincts de la courbe représentative de la fonction f.
Le coefficient directeur de la sécante (AM) à la courbe est . Il est égal au taux d'accroissement de la fonction f entre a et .
Quand h tend vers 0, la sécante (AM) est "proche" de la tangente à la courbe au point A.
Cliquer sur le bouton pour lancer l'animation et observer ce qui se passe quand h vers 0.
En admettant que la tangente à la courbe se conçoit comme "position limite" des sécantes (AM) alors, le coefficient directeur de la tangente en A à la courbe est égal à la limite du taux d'accroissement quand h tend vers 0, pourvu que cette limite existe.
Dire que la fonction f est dérivable au point a de son intervalle de définition signifie que le taux d'accroissement admet une limite finie quand h tend vers zéro. Cette limite est appelée le nombre dérivé de la fonction f au point a. On le note :
exemple
Reprenons l'exemple précédent de la fonction f définie sur par .
Le taux d'accroissement de la fonction f entre 2 et calculé précédemment est .
À condition de prendre h suffisamment proche de 0, on peut rendre aussi près de 3 que l'on souhaite :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan.
La droite passant par le point de la courbe et de coefficient directeur est la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, dérivable en a où a est un réel de I, et sa courbe représentative dans un repère du plan.
L'équation réduite de la tangente à la courbe au point a d'abscisse a est :
exemples
Soit f la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative.
Déterminer une équation de la tangente à la parabole au point d'abscisse 2.
Le nombre dérivé calculé précédemment est et . La tangente à la parabole au point d'abscisse 2 a pour équation :
Lecture graphique du nombre dérivé
La courbe tracée ci-dessous est la courbe représentative d'une fonction f définie sur .
Par lecture graphique, déterminer , et .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0.
Par lecture graphique, le coefficient directeur de la droite est égal à donc .
La tangente à la courbe au point B d'abscisse 2 est parallèle à l'axe des abscisses donc .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point C d'abscisse 3.
La droite passe par les points de coordonnées et donc .
La courbe représentative d'une fonction f peut avoir une tangente en un point a sans que la fonction soit dérivable en a.
La courbe représentative de la fonction racine carrée est tangente à la droite d'équation en 0.
Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0 en effet, le taux d'accroissement de la fonction racine carrée entre 0 et est :
Quand h tend vers 0, le quotient prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit que . Ce n'est pas une limite finie donc la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
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