Dérivation

III - Dérivée et variations d'une fonction

1 - Signe de la dérivée et variations d'une fonction

Théorème 1

Preuve

Étudions le cas d'une fonction strictement croissante sur un intervalle.

Si f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I alors, quels que soient les réels distincts a et b de cet intervalle les réels $b-a$ et $f\left(b\right)-f\left(a\right)$ sont de même signe d'où ${\displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}}>0$.

Le réel a étant fixé, il existe un réel $h\ne 0$ tel que $b=a+h$.

Par conséquent, si f est une fonction strictement croissante sur un intervalle I alors, quels que soient les réels distincts a et $a+h$ (avec $h\ne 0$) de cet intervalle $${\displaystyle \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}>0$$

Si en outre la fonction f est dérivable en a, l'inégalité précédente implique $\underset{h\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$ est un nombre positif soit $f\prime \left(a\right)⩾0$.

Ainsi, si une fonction f est une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle I, alors pour tout réel x appartenant à I on a $f\prime \left(x\right)⩾0$.

Théorème 2

Le théorème suivant (admis), permet de déterminer les variations d'une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa dérivée.

2 - Extremum d'une fonction

L'étude du sens de variation d'une fonction sur un intervalle I permet de déterminer les extremums éventuels d'une fonction.

Théorème 3 (admis)

Illustration graphique

remarques

1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l'hypothèse en changeant de signe est importante.

   Considérons la fonction cube définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=x^3$ qui a pour dérivée la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)=3x^2$.

   $f\prime \left(x_0\right)=0$ et, pour tout réel x non nul, $f\prime \left(x_0\right)>0$.

   La fonction cube est strictement croissante sur $ℝ$ et n'admet pas d'extremum en 0.

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2. Une fonction peut admettre un extremum local en $x_0$ sans être nécessairement dérivable.

   Considérons la fonction valeur absolue f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left|x\right|$.

   f est définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}x& \text{si }x⩾0\\ -x& \text{si }x<0\end{array}$.

   f admet un minimum $f\left(0\right)=0$ or la fonction f n'est pas dérivable en 0.

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Étude d'un exemple

1. Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2x+1}{4x^2+4x+5}}$. On note $f\prime$ sa fonction dérivée.

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

      Le discriminant du trinôme $4x^2+4x+5$ est $\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=16-4\times 4\times 5=-64\end{array}$ donc pour tout réel x, ${\left(4x^2+4x+5\right)}^2\ne 0$. Par conséquent, f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.

      Pour tout réel x posons : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2x+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=4x^2+4x+5& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=8x+4\end{array}$ alors, $\begin{array}{ccc}f={\displaystyle \frac{u}{v}}& \text{d'où}& f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\times \left(4x^2+4x+5\right)-\left(2x+1\right)\times \left(8x+4\right)}{{\left(4x^2+4x+5\right)}^2}}& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{8x^2+8x+10-16x^2-8x-8x-4}{{\left(4x^2+4x+5\right)}^2}}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8x^2-8x+6}{{\left(4x^2+4x+5\right)}^2}}\end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-8x^2-8x+6}{{\left(4x^2+4x+5\right)}^2}}$.

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de la dérivée. Étudions le signe de $f\prime \left(x\right)$ :

      Pour tout réel x, ${\left(4x^2+4x+5\right)}^2>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $-8x^2-8x+6$ avec $a=-8$, $b=-8$ et $c=6$.
      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=64+192=256\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{8-16}{-16}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{8+16}{-8}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$$

      Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x ainsi que le tableau des variations de f

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{3}{2}}$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$		${\displaystyle \frac{1}{4}}$

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      calcul des extremum :

      • La fonction f admet un minimum relatif en $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ et $$f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+1}{4\times {\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2+4\times \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+5}}=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$$

      • La fonction f admet un maximum relatif en ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+1}{4\times {\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+4\times {\displaystyle \frac{1}{2}}+5}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$

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2. Soit F une fonction définie sur $ℝ$, ayant pour dérivée la fonction f et telle que $F\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0$

   1. Déterminer une équation de la tangente d à la courbe représentive de la fonction F  au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$.

      Une équation de la tangente d à la courbe représentive de la fonction F  au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ est $$y=F\prime \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)\times \left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)+F\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$$

      Or $\begin{array}{ccc}F\prime \left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=f\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=-{\displaystyle \frac{1}{4}}& \text{et}& F\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)=0\end{array}$ donc $$\begin{array}{ccc}y=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\times \left(x+{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)& \iff & y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}\end{array}$$

      La tangente d à la courbe représentive de la fonction F  au point d'abscisse $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ a pour équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{4}}-{\displaystyle \frac{3}{8}}$.

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   2. Des trois courbes ci-dessous, quelle celle qui est la représentation graphique de la fonction F ?

      Courbe 1	Courbe 2	Courbe 3

      Les variations de la fonction F se déduisent du signe de sa dérivée f. Étudions le signe de $f\left(x\right)$ :

      Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}4x^2+4x+5>0& \text{et}& 2x+1>0\iff x>-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Nous pouvons déduire le tableau des variations de F

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      Signe de $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $F\left(x\right)$

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      Par conséquent, la courbe 3 est la seule courbe qui convienne.

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