cours première ES

Fonctions

II - Fonctions de référence

1 - Fonction affine

Définition

Soit a et b deux réels.
La fonction f définie sur par f(x)=ax+b est une fonction affine.

Proportionnalité des accroissements

f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts x1x2, on a : f(x2)-f(x1)x2-x1=a

Variation

Soient a et b deux réels.

  • Si a est positif, la fonction affine f définie sur par f(x)=ax+b est croissante.
  • Si a est négatif, la fonction affine f définie sur par f(x)=ax+b est décroissante.

Exercice

Soit f la fonction affine telle que f(-2)=3 et f(1)=2. Déterminer f(x). Donner le sens de variation de la fonction f.

La fonction affine f est définie pour tout réel x par f(x)=ax+b avec a=f(1)-f(-2)1-(-2)Soita=2-33=-13

Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-13x+b. Or f(1)=2 d'où -13+b=2b=73

Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=-13x+73. Comme a<0, la fonction f est strictement décroissante.


Courbe représentative

Soient a et b deux réels.
La courbe représentative de la fonction affine f définie sur par f(x)=ax+b est la droite 𝒟 d'équation y=ax+b.

a<0a=0a>0
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2 - Fonction carré

Définition

La fonction carré est la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x2.

propriétés

Variations de la fonction carré

La fonction carré définie pour tout réel x par f(x)=x2 est décroissante sur ]-;0] et croissante sur [0;+[.

tableau des variations de la fonction carré

x-0+
f(x)=x2fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

0

fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

conséquences

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré f définie sur par f(x)=x2 est la parabole 𝒫 d'équation y=x2.

Fonction carré : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

remarque :

Si 0a1 alors a2a. Sur l'intervalle [0;1], la parabole 𝒫 d'équation y=x2 est au dessous de la droite 𝒟 d'équation y=x.

3 - Fonction inverse

Définition

La fonction inverse est la fonction f définie pour tout réel x0 par f(x)=1x.

Ensemble de définition

L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls noté *, c'est la réunion de deux intervalles ]-;0[]0;+[.

Variations de la fonction inverse

La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.

Tableau des variations de la fonction inverse

x-0+
f(x)=1xfonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Exemple

Soit a un réel tel que 0<a1. Comparer les réels a, a2 et 1a.

Ainsi, si 0<a1 alors a2a1a.


Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équation y=1x.

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Remarques :

4 - Fonction racine carrée

Définition 1

Soit a un réel positif. Le nombre a est le seul réel positif dont le carré est a.

Définition 2

La fonction racine carrée est la fonction f définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;+[ par f(x)=a.

Remarque

Il ne faut pas confondre (x)2 et x2 :

Par exemple (-0,5)2=0,25=0,5.

Variations de la fonction racine carrée

La fonction racine carrée définie pour tout réel x positif par f(x)=a est strictement croissante.

Démonstration

Soient a et b deux réels positifs tels que 0a<b : a-b=(a)2-(b)2=(a+b)(a-b)

a et b sont deux réels positifs d'où (a+b)>0. Par conséquent, a-b et (a-b) donc 0a<ba-b<0a-b<0a<b La fonction racine carrée est strictement croissante sur [0;+[.

Courbe représentative

Fonction racine carrée : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Exercice

Soit f la fonction défine par f(x)=4-3x. Résoudre l'inéquation f(x)52.

L'ensemble des solutionde l'inéquation f(x)52 est l'intervalle S=[-34;43].


5 - Fonction cube

Définition

La fonction cube est la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=x3.

Variations de la fonction cube

La fonction cube est strictement croissante sur .

Démonstration

Soient a et b deux réels tels que a<b. Pour tous réel a et b on a :a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Courbe représentative

Fonction cube : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

Exercice

Étudier le signe de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=25-0,2x3.

Pour tout réel x, 25-0,2x3=125-x35=(5-x)(x2-5x+25)5

Le discriminant du trinôme x2-5x+25 est Δ=(-5)2-4×1×25=-75. Comme Δ<0 alors pour tout réel x, x2-5x+25>0.

On en déduit que f(x) est du même signe que 5-x d'où le tableau du signe de f(x) :

x-5+
f(x)=25-0,2x3+0||


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