Soit a et b deux réels. La fonction f définie sur par est une fonction affine.
Proportionnalité des accroissements
f est une fonction affine si, et seulement si, pour tous nombres réels distincts , on a :
Variation
Soient a et b deux réels.
Si a est positif, la fonction affine f définie sur par est croissante.
Si a est négatif, la fonction affine f définie sur par est décroissante.
Exercice
Soit f la fonction affine telle que et . Déterminer . Donner le sens de variation de la fonction f.
La fonction affine f est définie pour tout réel x par avec
Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par . Or d'où
Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par . Comme , la fonction f est strictement décroissante.
Courbe représentative
Soient a et b deux réels. La courbe représentative de la fonction affine f définie sur par est la droite d'équation .
2 - Fonction carré
Définition
La fonction carré est la fonction f définie pour tout réel x par .
propriétés
Un carré est toujours positif ou nul. Pour tout réel x, on a .
Un nombre et son opposé ont le même carré. Pour tout réel x, on a .
Variations de la fonction carré
La fonction carré définie pour tout réel x par est décroissante sur et croissante sur .
tableau des variations de la fonction carré
x
0
0
conséquences
Deux nombres négatifs et leurs carrés sont rangés dans l'ordre contraire. Si alors .
Deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre. Si alors .
Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction carré f définie sur par est la parabole d'équation .
remarque :
Si alors . Sur l'intervalle , la parabole d'équation est au dessous de la droite d'équation .
3 - Fonction inverse
Définition
La fonction inverse est la fonction f définie pour tout réel par .
Ensemble de définition
L'ensemble de définition de la fonction inverse est l'ensemble des réels non nuls noté , c'est la réunion de deux intervalles .
Variations de la fonction inverse
La fonction inverse est strictement décroissante sur chacun des intervalles où elle est définie.
Tableau des variations de la fonction inverse
x
0
Exemple
Soit a un réel tel que . Comparer les réels a, et .
Si alors .
Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur l'intervalle , on en déduit que si alors soit .
Ainsi, si alors .
Courbe représentative
La courbe représentative de la fonction inverse est l'hyperbole d'équation .
Remarques :
Pour tout réel , . Les points et sont symétriques par rapport à l'origine du repère. L'hyperbole admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
Graphiquement, l'hyperbole se rapproche de l'axe des abscisses lorsque x tend vers (ou vers ) , et de l'axe des ordonnées lorsque x se rapproche de 0. On dit que l'hyperbole a pour asymptotes les axes du repère.
4 - Fonction racine carrée
Définition 1
Soit a un réel positif. Le nombre est le seul réel positif dont le carré est a.
Définition 2
La fonction racine carrée est la fonction f définie pour tout réel x appartenant à l'intervalle par .
Remarque
Il ne faut pas confondre et :
seulement pour .
Par exemple .
Variations de la fonction racine carrée
La fonction racine carrée définie pour tout réel x positif par est strictement croissante.
Démonstration
Soient a et b deux réels positifs tels que :
a et b sont deux réels positifs d'où . Par conséquent, et donc La fonction racine carrée est strictement croissante sur .
Courbe représentative
Exercice
Soit f la fonction défine par . Résoudre l'inéquation .
La fonction f est définie pour tout réel x tel que
Pour tout réel x de l'intervalle :
L'ensemble des solutionde l'inéquation est l'intervalle .
5 - Fonction cube
Définition
La fonction cube est la fonction f définie pour tout réel x par .
Variations de la fonction cube
La fonction cube est strictement croissante sur .
Démonstration
Soient a et b deux réels tels que . Pour tous réel a et b on a :
Si a et b sont de même signe alors le produit d'où . Par conséquent, est du même signe que et, comme on en déduit que .
Si a et b sont de signe contraire soit et , alors et donc .
Courbe représentative
Exercice
Étudier le signe de la fonction f définie pour tout réel x par .
Pour tout réel x,
Le discriminant du trinôme est . Comme alors pour tout réel x, .
On en déduit que est du même signe que d'où le tableau du signe de :
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