cours première ES

Statistiques

Les premières études statistiques étaient des recensements démographiques : on en a conservé le vocabulaire.

Population : C'est l'ensemble sur lequel porte l'étude statistique.
Individu : C'est un élément de la population.
Caractère : C'est l'aspect que l'on observe sur les individus. Un caractère permet de déterminer une partition de la population selon ses diverses valeurs (par exemple le genre est un caractère à deux modalités : masculin ou féminin).

Lorsque les différentes valeurs d'un caractère sont des nombres, le caractère est quantitatif. Dans le cas contraire, le caractère est qualitatif.

L'effectif d'une valeur du caractère étudié est le nombre d'individus de la population ayant cette valeur.
La fréquence d'une valeur est le quotient de l'effectif de cette valeur par l'effectif total de la population. ( la fréquence peut être exprimée en pourcentage ) $féquence = \frac{effectif de la valeur}{effectif total}$

I - Médiane et quantiles

1 - Médiane

La médiane d'une série statistique est une valeur telle qu'il y ait autant d'observations ayant une valeur supérieure à la médiane que d'observations ayant une valeur inférieure à la médiane.

La médiane d'une série statistique de N valeurs rangées par ordre croissant est le nombre $M_{e}$ défini par :

si l'effectif N est impair, la médiane $M_{e}$ est la valeur centrale du caractère c'est à dire la valeur de rang $\frac{N + 1}{2}$ de la série ordonnée ;
si l'effectif N est pair, la médiane $M_{e}$ est la demi-somme des deux valeurs centrales du caractère c'est à dire la moyenne des valeurs de rangs $\frac{N}{2}$ et $\frac{N}{2} + 1$ de la série ordonnée.

exemple

Dans un service de maintenance, on a répertorié le nombre d'interventions par jour sur un mois. On a obtenu la distribution suivante :

Nombre d'interventions $x_{i}$	3	5	6	7	8	9
Nombre de jours $n_{i}$	2	5	8	6	3	1

L'effectif total $N = 25$ donc la médiane est la valeur du caractère de rang 13 soit $M_{e} = 6$ .

2 - Les quantiles

Les quartiles

Les quartiles au nombre de trois $Q_{1}$ , $Q_{2}$ et $Q_{3}$ partagent l'ensemble étudié de N éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en quatre sous ensembles.

Le premier quartile noté $Q_{1}$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 25 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_{1}$ .
Le troisième quartile noté $Q_{3}$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 75 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $Q_{3}$ .

remarque

L'intervalle interquartile $[Q_{1}; Q_{3}]$ contient au moins 50 % des valeurs de la série.

exemple

Dans la série précédente, l'effectif total $N = 25$ .

$25 \times \frac{1}{4} = 6,25$ donc le premier quartile est la valeur du caractère de rang 7 soit $Q_{1} = 5$ .
$25 \times \frac{3}{4} = 18,75$ donc le troisième quartile est la valeur du caractère de rang 19 soit $Q_{3} = 7$ .

Les déciles

Les déciles au nombre de neuf $D_{1}$ , $D_{2}$ , … , $D_{9}$ partagent l'ensemble étudié de N éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en dix sous ensembles.

Le premier décile noté $D_{1}$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 10 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_{1}$ .
Le neuvième décile noté $D_{9}$ est la plus petite valeur de la série statistique telle qu'au moins 90 % des valeurs de la série sont inférieures ou égales à $D_{9}$ .

3 - Caractéristiques de dispersion

L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur d'une série statistique.
L'écart interquartile est égal à la différence entre le troisième et le premier quartiles.
L'écart interdécile est égal à la différence entre le neuvième et le premier déciles.

4 - Diagramme en boîte

La représentation graphique de la dispersion d'une série statistique se fait à l'aide de diagramme en boîte appelés aussi « boîte à moustaches » ou « box-plot ».

Pour une catégorie donnée, on construit, en face d'un axe permettant de repérer les quantiles de la variable étudiée, un rectangle dont la longueur est égale à l'écart interquartile $Q_{3} - Q_{1}$ , la médiane est représentée par un trait. On ajoute alors des segments aux extrémités menant jusqu'aux valeurs extrêmes, ou jusqu'aux premier et neuvième déciles.

exemple

Le tableau suivant donne la distribution du revenu salarial par secteur d'activité en France en 2014.

Source : INSEE Première (*janvier 2017*)
	$D_{1}$	$Q_{1}$	Médiane	$Q_{3}$	$D_{9}$
Secteur privé	2 218	8 570	17 520	25 377	37 234
Secteur public	4 716	15 744	21 221	27 996	36 797

La distribution du revenu salarial par secteur d'activité est représentée à l'aide de diagrammes en boîte :

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