cours première ES

Statistiques

II - Moyenne, variance et écart-type

1 - La Moyenne

On considère la série statistique donnée par le tableau ci-contre.
On note $N = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p}$ l'effectif total

Valeur $x_{i}$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{p}$
Effectif $n_{i}$	$n_{1}$	$n_{2}$	…	$n_{p}$

Définition

La moyenne d'une série statistique est le quotient noté $\bar{x}$ de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total : $\bar{x} = \frac{n_{1} \times x_{1} + n_{2} \times x_{2} + \dots + n_{p} \times x_{p}}{N} = \frac{1}{N} \times \sum_{i = 1}^{p} n_{i} x_{i}$

remarque

Soit $f_{i} = \frac{n_{i}}{N}$ la fréquence de la valeur $x_{i}$ alors, la moyenne $\bar{x} = f_{1} \times x_{1} + f_{2} \times x_{2} + \dots + f_{p} \times x_{p}$ .

exemple

Le tableau ci-dessous donne le montant en euros du salaire mensuel moyen net selon les catégories socioprofessionnelles en France en 2015.

Source : INSEE Première (*octobre 2017*)
	Hommes		Femmes
	Salaires nets (en euros)	Effectifs (en %)	Salaires nets (en euros)	Effectifs (en %)
Cadres	4451	20,6	3561	15,6
Professions intermédiaires	2420	18,9	2081	20,8
Employés	1739	16,2	1591	50,8
Ouvriers	1765	44,3	1483	12,8

Comparons le salaire moyen des femmes par rapport à celui des hommes

Le salaire moyen des femmes est : ${\bar{x}}_{F} = 0,156 \times 3561 + 0,208 \times 2081 + 0,508 \times 1591 + 0,128 \times 1483 \approx 1986$
Le salaire moyen des hommes est : ${\bar{x}}_{H} = 0,206 \times 4451 + 0,189 \times 2420 + 0,162 \times 1739 + 0,443 \times 1765 \approx 2438$

Nous avons $(\frac{1986 - 2438}{2438}) \times 100 \approx - 18,5$

En 2015, une salariée gagnait en moyenne 18,5 % de moins qu'un salarié

linéarité de la moyenne

Soient a et b deux réels. Si une série statistique $(x_{i}; n_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ p$ a pour moyenne $\bar{x}$ alors, la série $(a x_{i} + b; n_{i})$ a pour moyenne $\bar{m} = a \bar{x} + b$ .

démonstration

Soit $\bar{m}$ la moyenne de la série statistique $(a x_{i} + b; n_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ p$ et d'effectif total N : $\begin{array}{rcl} \bar{m} & = & \frac{n_{1} \times (a x_{1} + b) + n_{2} \times (a x_{2} + b) + \dots + n_{p} \times (a x_{p} + b)}{N} \\ = & \frac{n_{1} \times a x_{1} + n_{1} \times b + n_{2} \times a x_{2} + n_{2} \times b + \dots + n_{p} \times a x_{p} + n_{p} \times b}{N} \\ = & \frac{a \times (n_{1} \times x_{1} + n_{2} \times x_{2} + \dots + n_{p} \times x_{p}) + b \times (n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p})}{N} \\ = & a \times \frac{(n_{1} \times x_{1} + n_{2} \times x_{2} + \dots + n_{p} \times x_{p})}{N} + b \times \frac{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p}}{N} \\ = & a \times \bar{x} + b \end{array}$

Ainsi, la moyenne de la série $(a x_{i} + b; n_{i})$ est $\bar{m} = a \bar{x} + b$ .

2 - Variance et écart-type

Soit $(x_{i}; n_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ p$ , une série statistique de moyenne $\bar{x}$ et d'effectif total N.

La variance de cette série est le nombre V défini par : $V = \frac{n_{1} \times {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} \times {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + n_{p} \times {(x_{p} - \bar{x})}^{2}}{N} = \frac{1}{N} \times \sum_{i = 1}^{p} n_{i} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$
L'écart-type, noté σ, de cette série est égal à la racine carrée de la variance : $σ = \sqrt{V}$

remarque

La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne $\bar{x}$ :
Les valeurs $(x_{i} - \bar{x})$ sont les « écarts à la moyenne »; les « carrés des écarts à la moyenne » sont donc ${(x_{i} - \bar{x})}^{2}$ . En faisant la moyenne des carrés des écarts à la moyenne, on obtient la variance.

Propriété

Soit $(x_{i}; n_{i})$ , $1 ⩽ i ⩽ p$ , une série statistique de moyenne $\bar{x}$ et d'effectif total N.
La variance de cette série est le nombre V défini par : $V = \frac{n_{1} \times {x_{1}}^{2} + n_{2} \times {x_{2}}^{2} + \dots + n_{p} \times {x_{p}}^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} = \frac{1}{N} \times \sum_{i = 1}^{p} n_{i} {x_{i}}^{2} - {\bar{x}}^{2}$

démonstration

La variance de la série statistique $(x_{i}; n_{i})$ de moyenne $\bar{x}$ et d'effectif total N est : $\begin{array}{rcl} V & = & \frac{n_{1} \times {(x_{1} - \bar{x})}^{2} + n_{2} \times {(x_{2} - \bar{x})}^{2} + \dots + n_{p} \times {(x_{p} - \bar{x})}^{2}}{N} \\ = & \frac{n_{1} \times ({x_{1}}^{2} - 2 x_{1} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) + n_{2} \times ({x_{2}}^{2} - 2 x_{2} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) + \dots + n_{p} \times ({x_{p}}^{2} - 2 x_{p} \bar{x} + {\bar{x}}^{2})}{N} \\ = & \frac{n_{1} \times {x_{1}}^{2} + n_{2} \times {x_{2}}^{2} + \dots + n_{p} \times {x_{p}}^{2}}{N} - 2 \times \frac{n_{1} \times x_{1} + n_{2} \times x_{2} + \dots + n_{p} \times x_{p}}{N} \times \bar{x} + \frac{n_{1} + n_{2} + \dots + n_{p}}{N} \times {\bar{x}}^{2} \\ = & \frac{n_{1} \times {x_{1}}^{2} + n_{2} \times {x_{2}}^{2} + \dots + n_{p} \times {x_{p}}^{2}}{N} - 2 \times \bar{x} \times \bar{x} + {\bar{x}}^{2} \\ = & \frac{n_{1} \times {x_{1}}^{2} + n_{2} \times {x_{2}}^{2} + \dots + n_{p} \times {x_{p}}^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \end{array}$

Ainsi, la variance d'une série statistique est égale à la différence entre « la moyenne des carrés » et « le carré de la moyenne ».

Exemple

Pour contrôler le bon fonctionnement d'une machine utilisée pour remplir des flacons, un échantillon aléatoire de 50 flacons est prélevé dans la production ; on calcule la moyenne $\bar{v}$ des volumes de liquide contenu dans les flacons de l'échantillon ainsi que l'écart-type σ. Un réglage de la machine est nécessaire si l'un des critères suivants n'est pas vérifié :

la moyenne $\bar{v}$ doit être supérieure à 100 ml ;
95 % au moins des flacons contiennent un volume de liquide compris dans l'intervalle $[\bar{v} - 2 σ; \bar{v} + 2 σ]$ .

Au cours de la production, l'échantillon suivant a été prélevé.

Capacité (en ml)	95	96	97	98	99	100	101	102	103	104	105
Nombre de flacons	1	1	2	5	7	9	10	7	5	2	1

Faut-il effectuer un réglage de la machine ?

La moyenne des volumes de liquide dans l'échantillon est : $\bar{v} = \frac{95 + 96 + 2 \times 97 + 5 \times 98 + 7 \times 99 + 9 \times 100 + 10 \times 101 + 7 \times 102 + 5 \times 103 + 5 \times 104 + 105}{50} = 100,4$

La variance de la série statistique est : $V = \frac{95^{2} + 96^{2} + 2 \times 97^{2} + 5 \times 98^{2} + 7 \times 99^{2} + 9 \times 100^{2} + 10 \times 101^{2} + 7 \times 102^{2} + 5 \times 103^{2} + 5 \times 104^{2} + 105^{2}}{50} - {100,4}^{2} = 4,36$

L'écart-type est $σ = \sqrt{4,36} \approx 2,1$ . D'où $[\bar{v} - 2 σ; \bar{v} + 2 σ] = [100,4 - 2 \times 2,1; 100,4 + 2 \times 2,1] = [96,2; 104,6]$

47 flacons contiennent un volume de liquide compris dans l'intervalle $[96,2; 104,6]$ soit une part en pourcentage : $\frac{47}{50} \times 100 \approx 94$

94 % des flacons contiennent un volume de liquide compris dans l'intervalle $[\bar{v} - 2 σ; \bar{v} + 2 σ]$ par conséquent, il faut effectuer un réglage de la machine.

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