contrôle du 29 Mai 2006

Corrigé de l'exercice 1

1. Montrer que la fonction f est impaire.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(-x\right)& =& \sin \left(-x\right)-\left(-{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\\ & =& -\sin x+{\displaystyle \frac{x}{2}}\\ & =& -\left(\sin x-{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)\end{array}$$

   Ainsi, pour tout réel x, $f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$. La fonction f est impaire.

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2. Soit M un point de la courbe $C_f$ d'abscisse x et N le point de la courbe $C_f$ d'abscisse $x+2\pi$. Montrer que N est l'image de M par une translation dont on donnera le vecteur.

   • Le point M de la courbe $C_f$ d'abscisse x a pour coordonnées $M\left(x;\sin x-{\displaystyle \frac{x}{2}}\right)$.
   • Le point N de la courbe $C_f$ d'abscisse $x+2\pi$ a pour coordonnées $N\left(x+2\pi ;\sin \left(x+2\pi \right)-{\displaystyle \frac{x+2\pi }{2}}\right)$. Soit $N\left(x+2\pi ;\sin x-{\displaystyle \frac{x+2\pi }{2}}\right)$.
   • Le vecteur $\overrightarrow{MN}$ a pour coordonnées :$$\begin{array}{lllll}\overrightarrow{MN}\left(x_N-x_M;y_N-y_M\right)& \text{D'où}& \overrightarrow{MN}\left(x+2\pi -x;\sin x-{\displaystyle \frac{x+2\pi }{2}}-\sin x\right)& \text{Soit}& \overrightarrow{MN}\left(2\pi ;\pi \right)\end{array}$$

   $\overrightarrow{MN}\left(2\pi ;\pi \right)$ donc le point N est l'image du point M par une translation de vecteur $\overrightarrow{u}\left(2\pi ;\pi \right)$.

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3. Tracer dans le repère précédent, la droite d'équation $y=-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

4. Résoudre dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ l'équation $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}& \iff & \sin x-{\displaystyle \frac{x}{2}}=-{\displaystyle \frac{x}{2}}\\ & \iff & \sin x=0\end{array}$$

   Soit $x=0+2k\pi$ ou $x=\pi +2k\pi$ où k est un entier relatif.

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{x}{2}}$ comprises dans l'intervalle $\left[-\pi ;\pi \right]$ est $S=\left\{-\pi ;0;\pi \right\}$.

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